Apa poin ekstrem dan sadel dari f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Menjawab:

# {: ("Critical Point", "Kesimpulan"), ((0,0,0), "saddle"):} #

Penjelasan:

Teori untuk mengidentifikasi ekstrema # z = f (x, y) # aku s:

1. Memecahkan secara bersamaan persamaan kritis

   # (parsial f) / (parsial x) = (parsial f) / (parsial y) = 0 # (yaitu # f_x = f_y = 0 #)

2. Evaluasi #f_ (x x), f_ (yy) dan f_ (xy) (= f_ (yx)) # di masing-masing titik kritis ini. Karena itu evaluasi # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # di masing-masing titik ini
3. Tentukan sifat ekstrema;

   # {: (Delta> 0, "Ada minimum jika" f_ (xx) <0), (, "dan maksimum jika" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "ada titik pelana"), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Jadi kita punya:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Mari kita cari turunan parsial pertama:

# (parsial f) / (parsial x) = kamu ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = kamu ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ya ^ (x ^ 2) #

# (sebagian f) / (sebagian y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Jadi persamaan kritis kami adalah:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Dari persamaan ini kita memiliki:

# y = 0 # atau # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # atau # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Dan satu-satunya solusi simultan adalah # x = y = 0 #

Dan begitulah yang kita miliki satu titik kritis pada titik asal

Jadi, sekarang mari kita lihat turunan parsial kedua sehingga kita dapat menentukan sifat dari titik kritis (saya hanya akan mengutip hasil ini):

# (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (parsial ^ 2f) / (parsial x parsial y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (sebagian ^ 2f) / (parsial y parsial x)) #

Dan kita harus menghitung:

# Delta = (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2) (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) - ((parsial ^ 2f) / (parsial x sebagian y)) ^ 2 #

di setiap titik kritis. Nilai turunan parsial kedua, #Delta#, dan kesimpulannya adalah sebagai berikut:

# {: ("Titik Kritis", (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2), (parsial ^ 2f) / (parsial x parsial y), Delta, "Kesimpulan"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "termasuk"):} #

Jadi setelah semua itu bekerja agak mengecewakan untuk mendapatkan hasil inklusif, tetapi jika kita memeriksa perilaku di sekitar titik kritis kita dapat dengan mudah menetapkan bahwa itu adalah titik pelana.

Kita dapat melihat titik-titik kritis ini jika kita melihat plot 3D: