Kita punya:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Langkah 2 - Identifikasi Poin Kritis
Titik kritis terjadi pada solusi simultan dari
# f_x = f_y = 0 iff (sebagian f) / (sebagian x) = (sebagian f) / (sebagian y) = 0 #
yaitu ketika:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # serentak
Dari mana kita dapat membangun:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Karena itu kami mengharuskan:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Lalu kami memiliki dua solusi (bidang tak terbatas):
#:. x = + - y #
Jadi kami menyimpulkan ada banyak titik kritis di sepanjang panjang persimpangan kurva dan dua bidang
Langkah 3 - Klasifikasi poin-poin penting
Untuk mengklasifikasikan titik-titik kritis kami melakukan tes yang mirip dengan satu kalkulus variabel menggunakan turunan parsial kedua dan Matriks Hessian.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)), ((parsial ^ 2 f) / (parsial y parsial x), (parsial ^ 2 f) / (parsial y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Kemudian tergantung pada nilai
# {: (Delta> 0, "Ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (, "dan minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "ada titik pelana"), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Kita perlu mempertimbangkan tanda
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Jadi, tergantung tanda
Berikut adalah plot fungsinya
Dan di sini ada plot fungsi termasuk pesawat
