Apa poin ekstrem dan sadel dari f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Saya tidak menemukan titik pelana, tetapi ada minimum:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Untuk menemukan ekstrema, gunakan turunan parsial sehubungan dengan # x # dan # y # untuk melihat apakah kedua turunan parsial dapat secara bersamaan sama #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2th + 1 #

Jika mereka secara bersamaan harus sama #0#, mereka membentuk a sistem persamaan:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Ini linier sistem persamaan, ketika dikurangi untuk membatalkan # y #, memberi:

# 3x - 1 = 0 => warna (hijau) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => warna (hijau) (y = -2/3) #

Karena persamaannya linear, hanya ada satu titik kritis, dan hanya satu ekstrem. Derivatif kedua akan memberi tahu kita apakah itu maksimum atau minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Parsial kedua ini dalam perjanjian, sehingga grafik cekung ke atas, di sepanjang # x # dan # y # kapak.

Nilai dari #f (x, y) # pada titik kritis adalah (dengan menghubungkan kembali ke persamaan asli):

#color (hijau) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = warna (hijau) (- 1/3) #

Jadi, kita punya a minimum dari #color (biru) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Sekarang, untuk turunan silang untuk memeriksa titik sadel yang bisa sepanjang arah diagonal:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Karena keduanya juga sepakat, alih-alih menjadi tanda yang berlawanan, ada tidak ada titik sadel.

Kita dapat melihat bagaimana grafik ini terlihat hanya untuk memeriksa: