Apa kesalahan umum yang dilakukan siswa dengan elips dalam bentuk standar?

Bentuk standar untuk elips (seperti yang saya ajarkan) terlihat seperti: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) adalah pusatnya.

jarak "a" = seberapa jauh kanan / kiri bergerak dari pusat untuk menemukan titik akhir horizontal.

jarak "b" = seberapa jauh naik / turun untuk bergerak dari pusat untuk menemukan titik akhir vertikal.

Saya pikir sering siswa keliru berpikir seperti itu # a ^ 2 # adalah seberapa jauh untuk menjauh dari pusat untuk menemukan titik akhir. Terkadang, ini akan menjadi jarak yang sangat jauh untuk bepergian!

Juga, saya pikir kadang-kadang siswa secara keliru naik / turun alih-alih kanan / kiri ketika menerapkan rumus ini untuk masalah mereka.

Berikut adalah contoh untuk dibicarakan:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Pusatnya adalah (1, -4). Anda harus bergerak ke kanan dan kiri "a" = 2 unit untuk mendapatkan titik akhir horizontal di (3, -4) dan (-1, -4). (lihat gambar)

Anda harus bergerak naik dan turun "b" = 3 unit untuk mendapatkan titik akhir vertikal di (1, -1) dan (1, -7). (lihat gambar)

Karena a <b, sumbu utama akan berada dalam arah vertikal.

Jika a> b, sumbu utama akan menuju ke arah horisontal!

Jika Anda perlu mencari tahu informasi lain tentang elips, ajukan pertanyaan lain!

(Kebingungan apakah #Sebuah# dan # b # mewakili jari - jari utama / minor, atau # x #- & # y #-radii)

Ingat bahwa bentuk standar untuk elips berpusat pada titik asal aku s

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Namun, beberapa akan mengambil masalah dengan formula yang tercantum di atas. Beberapa aliran pemikiran berpendapat demikian #Sebuah# harus selalu lebih besar dari # b # dan dengan demikian mewakili panjang jari-jari utama (bahkan jika jari-jari utama terletak pada arah vertikal, sehingga memungkinkan # y ^ 2 / a ^ 2 # dalam kasus seperti itu), sementara yang lain berpendapat bahwa itu harus selalu mewakili # x #-radius (bahkan jika # x #-radius adalah jari-jari minor).

Hal yang sama berlaku dengan # b #, meskipun secara terbalik. (mis. beberapa percaya itu # b # harus selalu menjadi radius minor, dan yang lain percaya bahwa itu harus selalu menjadi # y #-radius).

Pastikan Anda tahu metode mana yang disukai instruktur Anda (atau program yang Anda gunakan). Jika tidak ada preferensi yang kuat, maka cukup putuskan sendiri, tetapi konsisten dengan keputusan Anda. Mengubah pikiran Anda di tengah-tengah tugas akan membuat hal-hal tidak jelas, dan mengubah pikiran Anda di tengah-tengah satu masalah hanya akan menyebabkan kesalahan.

(Radius / kebingungan sumbu)

Mayoritas kesalahan pada elips tampaknya merupakan hasil dari kebingungan mengenai radius mana yang utama dan mana yang minor. Kemungkinan kesalahan lain dapat muncul jika seseorang membingungkan jari-jari utama dengan sumbu utama (atau jari-jari minor dengan sumbu minor). Sumbu mayor (atau minor) sama dengan dua kali radius mayor (atau minor), karena pada dasarnya merupakan diameter mayor (atau minor). Bergantung pada langkah di mana kebingungan ini terjadi, ini dapat menyebabkan kesalahan parah dalam skala untuk elips.

(Radius / radius kuadrat kebingungan)

Kesalahan serupa terjadi ketika siswa lupa bahwa penyebutnya (# a ^ 2, b ^ 2 #) adalah kuadrat dari jari - jari, dan bukan jari - jari itu sendiri. Tidak jarang melihat seorang siswa dengan masalah seperti # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # menggambar elips dengan # x #-radius 9 dan # y #-radius 4. Selanjutnya, ini dapat terjadi bersamaan dengan kesalahan di atas (membingungkan radius untuk diameter), yang mengarah ke hasil seperti siswa dengan persamaan di atas menggambar elips dengan diameter besar 9 (dan dengan demikian radius utama 4,5), bukannya diameter utama yang benar 6 (dan radius besar 3).

(Hyperbola dan Ellipse kebingungan) PERINGATAN: Jawabannya cukup panjang

Kesalahan lain yang relatif umum terjadi jika seseorang salah mengingat rumus untuk elips. Secara khusus, kesalahan yang paling umum ini tampaknya terjadi ketika kita bingung rumus untuk elips dengan itu untuk hiperbola (yang, ingat, adalah # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # atau # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # untuk yang berpusat di titik asal, sekali lagi tunduk pada konvensi pelabelan sumbu yang tercantum di atas). Untuk ini, ada baiknya mengingat definisi elips dan hiperbola sebagai bagian kerucut.

Secara khusus, ingat bahwa elips adalah lokus poin yang terkait dengan dua fokus # f_1 & f_2 # terletak di sepanjang sumbu utama sedemikian rupa sehingga, untuk titik arbitrer # p # di lokus, jarak dari # p # untuk # f_1 # (berlabel # d_1 #) ditambah jarak dari # p # untuk # f_2 # (berlabel # d_2 #) sama dengan dua kali radius utama (mis., jika #Sebuah# adalah radius utama, # d_1 + d_2 = 2a #). Selanjutnya, jarak dari pusat ke salah satu fokus ini (kadang-kadang disebut pemisahan setengah fokus atau eksentrisitas linier), asumsi #Sebuah# adalah radius utama, sama dengan #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Sebaliknya, hiperbola adalah lokus poin yang terkait dengan dua fokus sedemikian rupa sehingga, untuk suatu titik # p # pada lokus, nilai absolut dari perbedaan antara jarak titik ke fokus pertama dan jarak titik ke fokus kedua sama dengan dua kali radius utama (mis. dengan #Sebuah# radius utama, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Selanjutnya, jarak dari pusat hiperbola ke salah satu fokus ini (sekali lagi, kadang-kadang disebut eksentrisitas linier, dan masih mengasumsikan #Sebuah# radius utama) sama dengan #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Berkaitan dengan definisi bagian kerucut, keseluruhan keanehan # e # bagian menentukan apakah itu lingkaran (# e = 0 #), elips (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), atau hiperbola (#e> 1 #). Untuk elips dan hiperbola, eksentrisitas dapat dihitung sebagai rasio eksentrisitas linier terhadap panjang jari-jari utama; dengan demikian, untuk sebuah elips akan seperti itu #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (dan dengan demikian kurang dari 1), dan untuk hiperbola akan menjadi #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (dan dengan demikian tentu lebih besar dari 1).