Dua sudut segitiga sama kaki berada di (1, 3) dan (9, 4). Jika luas segitiga adalah 64, berapakah panjang sisi segitiga itu?

Menjawab:

Panjang sisi segitiga adalah:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Penjelasan:

Jarak antara dua titik # (x_1, y_1) # dan # (x_2, y_2) # diberikan oleh rumus jarak:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Jadi jarak antara # (x_1, y_1) = (1, 3) # dan # (x_2, y_2) = (9, 4) # aku s:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

yang merupakan bilangan irasional sedikit lebih besar dari #8#.

Jika salah satu sisi lain dari segitiga itu memiliki panjang yang sama, maka luas maksimum yang mungkin dari segitiga itu adalah:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Jadi tidak mungkin demikian. Sebaliknya, kedua sisi lainnya harus memiliki panjang yang sama.

Diberi segitiga dengan sisi # a = sqrt (65), b = t, c = t #, kita dapat menggunakan rumus Heron untuk menemukan wilayahnya.

Formula bangau memberi tahu kita bahwa luas segitiga dengan sisi #a, b, c # dan semi perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # diberikan oleh:

#A = sqrt (s-a) (s-b) (s-c)) #

Dalam kasus kami semi perimeter adalah:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

dan formula Heron memberi tahu kita bahwa:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (white) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Kalikan kedua ujungnya dengan #2# mendapatkan:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Susun kedua sisi untuk mendapatkan:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Kalikan kedua sisi dengan #4/65# mendapatkan:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transpose dan tambahkan #65/4# ke kedua sisi untuk mendapatkan:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Ambil akar kuadrat positif dari kedua sisi untuk mendapatkan:

#t = sqrt (266369/260) #

Jadi panjang sisi segitiga adalah:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Metode alternatif

Alih-alih menggunakan rumus Heron, kita dapat bernalar sebagai berikut:

Mengingat bahwa pangkal segitiga sama kaki panjangnya:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Daerah itu # 64 = 1/2 "base" xx "height" #

Jadi ketinggian segitiga adalah:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Ini adalah panjang garis-bagi tegak lurus segitiga, yang melewati titik tengah pangkalan.

Jadi dua sisi lainnya membentuk sisi miring dari dua segitiga siku-siku dengan kaki #sqrt (65) / 2 # dan # (128sqrt (65)) / 65 #

Jadi oleh Pythagoras, masing-masing pihak memiliki panjang:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #