Segitiga sama kaki memiliki sisi A, B, dan C dengan sisi B dan C sama panjang. Jika sisi A beralih dari (1, 4) ke (5, 1) dan luas segitiga adalah 15, berapakah koordinat yang memungkinkan dari sudut ketiga segitiga?

Menjawab:

Kedua simpul membentuk dasar dengan panjang 5, sehingga ketinggian harus 6 untuk mendapatkan area 15. Kaki adalah titik tengah dari titik-titik, dan enam unit di kedua arah tegak lurus memberikan # (33/5, 73/10)# atau #(- 3/5, - 23/10) #.

Penjelasan:

Pro tip: Cobalah untuk tetap pada konvensi huruf kecil untuk sisi segitiga dan huruf kapital untuk simpul segitiga.

Kami diberi dua poin dan area segitiga sama kaki. Dua poin itu menjadi dasar, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Kaki # F # ketinggian adalah titik tengah dari dua titik, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Vektor arah dari antara titik adalah #(1-5, 4-1)=(-4,3)# dengan magnitudo 5 yang baru saja dihitung. Kami mendapatkan vektor arah tegak lurus dengan menukar poin dan meniadakan salah satunya: #(3,4)# yang juga harus memiliki magnitudo lima.

Karena daerah itu # A = frac 1 2 b h = 15 # kita mendapatkan # h = (2 * 15) /b=6.#

Jadi kita harus bergerak #6# unit dari # F # di kedua arah tegak lurus untuk mendapatkan simpul ketiga kami yang saya sebut # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) atau C = (- 3/5, - 23/10) #

Memeriksa: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Area yang ditandatangani kemudian merupakan setengah dari produk silang

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Itu akhirnya, tapi mari kita menggeneralisasi jawabannya sedikit. Mari kita lupakan itu sama sekali. Jika kita memiliki C (x, y), area tersebut diberikan oleh rumus tali sepatu:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4thn - 19 | #

Daerah itu #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4th # atau # -11 = 3x + 4y #

Jadi jika titik C berada di salah satu dari dua garis paralel itu, kita akan memiliki segitiga area 15.

Membiarkan # PR = A # menjadi sisi dari segitiga sama kaki yang memiliki koordinat titik akhirnya sebagai berikut

#Pto (1,4) # dan #Rto (5,1) #

Biarkan koordinat titik ketiga segitiga menjadi # (x, y) #.

Sebagai # (x, y) # berjarak sama dari P dan R yang bisa kita tulis

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Lagi # (x, y) # menjadi sama dari P dan R, tegak lurus turun dari # (x, y) # untuk # PR # harus membagi dua, Biarkan kaki ini dari titik tegak lurus atau pertengahan # PR # menjadi # T #

Jadi koordinat #Untuk (3,2.5) #

Sekarang ketinggian segitiga sama kaki

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

Dan dasar dari segitiga sama kaki

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Jadi dengan masalah wilayahnya

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Dengan 2 dan 1 kita dapatkan

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Begitu # y = 7.3 dan y = -2.3 #

kapan # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

kapan # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

Jadi koordinat titik ketiga akan menjadi

# (6.6,7.3) ke "Q dalam gambar" #

ATAU

# (- 0.6, -2.3) hingga "S dalam gambar" #