Berapakah luas permukaan benda padat yang dibuat oleh putaran f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x dalam [1,3] di sekitar sumbu x?

Menjawab:

Tentukan tanda, lalu integrasikan dengan bagian-bagian. Area adalah:

# A = 39.6345 #

Penjelasan:

Anda harus tahu apakah #f (x) # negatif atau positif #1,3#. Karena itu:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Untuk menentukan tanda, faktor kedua akan positif ketika:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Sejak # e ^ x> 0 # untuk apa saja #x in (-oo, + oo) # ketidaksetaraan tidak berubah:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Jadi fungsinya hanya positif ketika x negatif dan sebaliknya. Karena ada juga # x # faktor dalam #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Ketika satu faktor positif, yang lain negatif, jadi f (x) adalah selalu negatif. Oleh karena itu, Area:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Menggunakan kalkulator:

# A = 39.6345 #

Menjawab:

Luas = 11.336,8 unit persegi

Penjelasan:

pemberian #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

untuk kesederhanaan, biarkan #f (x) = y #

dan # y = xe ^ -x -xe ^ x #

turunan pertama # y '# diperlukan dalam perhitungan luas permukaan.

Daerah # = 2pi int_1 ^ 3 tahun # # ds #

dimana # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Daerah # = 2pi int_1 ^ 3 tahun # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Tentukan turunan pertama # y '#:

membedakan # y = x (e ^ -x - e ^ x) # menggunakan turunan dari formula produk

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

setelah penyederhanaan dan anjak piutang, hasilnya adalah

turunan pertama # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Hitung sekarang Area:

Area = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Daerah # = 2pi int_1 ^ 3 tahun # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Daerah

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Untuk integral rumit seperti ini, kita dapat menggunakan Aturan Simpson:

yang seperti itu

Daerah

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Area = -11,336.804

ini melibatkan arah revolusi sehingga bisa ada area permukaan negatif atau area permukaan positif. Mari kita perhatikan nilai positif Area = 11336.804 unit persegi