Apa yang dikatakan Tes Derivatif ke-2 tentang perilaku f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 pada angka-angka kritis ini?

Menjawab:

Tes Derivatif Kedua menyiratkan bahwa angka kritis (titik) # x = 4/7 # memberikan minimum lokal untuk # f # sementara tidak mengatakan apa-apa tentang sifat # f # pada angka kritis (poin) # x = 0,1 #.

Penjelasan:

Jika #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, lalu Aturan Produk mengatakan

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Pengaturan ini sama dengan nol dan penyelesaian untuk # x # menyiratkan itu # f # memiliki angka (poin) kritis di # x = 0,4 / 7,1 #.

Menggunakan Aturan Produk lagi memberi:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Sekarang #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, dan #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Oleh karena itu Tes Derivatif Kedua menyiratkan bahwa bilangan kritis (titik) # x = 4/7 # memberikan minimum lokal untuk # f # sementara tidak mengatakan apa-apa tentang sifat # f # pada angka kritis (poin) # x = 0,1 #.

Pada kenyataannya, angka kritis (titik) pada # x = 0 # memberikan maksimum lokal untuk # f # (dan Tes Derivatif Pertama cukup kuat untuk menyiratkan hal ini, meskipun Uji Derivatif Kedua tidak memberikan informasi) dan angka kritis (titik) pada # x = 1 # tidak memberikan maks lokal atau min untuk # f #, tapi "sadel" (satu dimensi) ".