Menjawab:
Lakukan banyak aljabar setelah menerapkan definisi batas untuk menemukan kemiringan pada # x = 3 # aku s #13#.
Penjelasan:
Definisi batas derivatif adalah:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Jika kami mengevaluasi batas ini untuk # 3x ^ 2-5x + 2 #, kami akan mendapatkan ekspresi untuk turunan dari fungsi ini. Derivatif hanyalah kemiringan garis tangen pada suatu titik; jadi mengevaluasi turunannya di # x = 3 # akan memberi kita kemiringan garis singgung di # x = 3 #.
Dengan itu, mari kita mulai:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (batal (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-batal (5x) -5h + batal (2) -batal (3x ^ 2) + batal (5x) -cancel (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (batal (h) (6x + 3j-5)) / batal (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Mengevaluasi batas ini di # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Sekarang kita memiliki turunannya, kita hanya perlu menghubungkannya # x = 3 # untuk menemukan kemiringan garis singgung di sana:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Menjawab:
Lihat bagian penjelasan di bawah ini jika guru / buku teks Anda menggunakan #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Penjelasan:
Beberapa presentasi penggunaan kalkulus, untuk definisi kemiringan garis singgung grafik #f (x) # pada titik di mana # x = a # aku s #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # asalkan ada batasnya.
(Misalnya edisi ke-8 James Stewart Kalkulus p 106. Di halaman 107, ia memberikan yang setara #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Dengan definisi ini, kemiringan garis singgung ke grafik #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # pada titik di mana # x = 3 # aku s
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Perhatikan bahwa batas ini memiliki bentuk tak tentu #0/0# karena #3# adalah nol dari polinomial dalam pembilang.
Sejak #3# adalah nol, kita tahu itu # x-3 # adalah faktor. Jadi kita dapat memfaktorkan, mengurangi dan mencoba mengevaluasi lagi.
# = lim_ (xrarr3) (batal ((x-3)) (3x + 4)) / batal ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Batasnya adalah #13#, jadi kemiringan garis singgung di # x = 3 # aku s #13#.
