Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas sqrt (1 + x)?

Menjawab:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = jumlah (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # dengan #x dalam CC #

Gunakan generalisasi formula binomial untuk bilangan kompleks.

Penjelasan:

Ada generalisasi formula binomial ke bilangan kompleks.

Formula seri binomial umum tampaknya # (1 + z) ^ r = jumlah ((r) _k) / (k!) Z ^ k # dengan # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (menurut Wikipedia). Mari kita terapkan pada ekspresi Anda.

Ini adalah seri kekuatan jadi jelas, jika kita ingin memiliki peluang bahwa ini tidak berbeda kita perlu mengatur #absx <1 # dan ini adalah bagaimana Anda berkembang #sqrt (1 + x) # dengan seri binomial.

Saya tidak akan menunjukkan formula itu benar, tetapi tidak terlalu sulit, Anda hanya perlu melihat bahwa fungsi kompleks didefinisikan oleh # (1 + z) ^ r # bersifat holomorfik pada disk unit, hitung setiap turunannya pada 0, dan ini akan memberi Anda rumus Taylor dari fungsi tersebut, yang berarti Anda dapat mengembangkannya sebagai rangkaian daya pada disk unit karena #absz <1 #, maka hasilnya.

Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 Ekspansi seri binomial untuk (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 diberikan oleh: (a + bx) ^ n = jumlah_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Jadi, kita memiliki: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Bagaimana Anda menggunakan rumus binomial untuk memperluas [x + (y + 1)] ^ 3?

X ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 Binomial ini memiliki bentuk (a + b) ^ 3 Kami memperluas binomial dengan menerapkan ini properti: (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3. Dimana dalam binomial yang diberikan a = x dan b = y + 1 Kita memiliki: [x + (y + 1)] ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + ( y + 1) ^ 3 menyatakannya sebagai (1) Dalam ekspansi di atas kita masih memiliki dua binomial untuk diperluas (y + 1) ^ 3 dan (y + 1) ^ 2 Untuk (y + 1) ^ 3 kita harus menggunakan properti potong dadu di atas Jadi (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1. Tulis sebagai (2) Untuk

Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Saya ingin cek ganda karena sebagai mahasiswa fisika saya jarang melampaui (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx untuk x kecil jadi saya agak berkarat. Seri binomial adalah kasus khusus dari teorema binomial yang menyatakan bahwa (1 + x) ^ n = jumlah_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Dengan ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Apa yang kita miliki adalah (z ^ 2-1) ^ (1/2) , ini bukan bentuk yang benar. Untuk memperbaiki ini, ingat bahwa i ^ 2 = -1 jadi kita memiliki: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) Ini sekarang dalam bentuk yang benar dengan x =