Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas (5 + x) ^ 4?

Menjawab:

# (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 #

Penjelasan:

Ekspansi seri binomial untuk # (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 # diberikan oleh:

# (a + bx) ^ n = jumlah_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (n-r) (bx) ^ r) #

Jadi kita punya:

# (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 #

# (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 #

# (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 #

Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas sqrt (1 + x)?

Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = jumlah (1 // 2) _k / (k!) x ^ k dengan x dalam CC Gunakan generalisasi formula binomial ke bilangan kompleks. Ada generalisasi formula binomial ke bilangan kompleks. Rumus seri binomial umum tampaknya (1 + z) ^ r = jumlah ((r) _k) / (k!) Z ^ k dengan (r) _k = r (r-1) (r-2) .. . (r-k +1) (menurut Wikipedia). Mari kita terapkan pada ekspresi Anda. Ini adalah rangkaian daya yang sangat jelas, jika kita ingin memiliki peluang bahwa ini tidak berbeda kita perlu mengatur absx <1 dan ini adalah bagaimana Anda memperluas sqrt (1 + x) dengan seri binomial. Saya tidak akan menunjukkan formula itu

Bagaimana Anda menggunakan rumus binomial untuk memperluas [x + (y + 1)] ^ 3?

X ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 Binomial ini memiliki bentuk (a + b) ^ 3 Kami memperluas binomial dengan menerapkan ini properti: (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3. Dimana dalam binomial yang diberikan a = x dan b = y + 1 Kita memiliki: [x + (y + 1)] ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + ( y + 1) ^ 3 menyatakannya sebagai (1) Dalam ekspansi di atas kita masih memiliki dua binomial untuk diperluas (y + 1) ^ 3 dan (y + 1) ^ 2 Untuk (y + 1) ^ 3 kita harus menggunakan properti potong dadu di atas Jadi (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1. Tulis sebagai (2) Untuk

Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Saya ingin cek ganda karena sebagai mahasiswa fisika saya jarang melampaui (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx untuk x kecil jadi saya agak berkarat. Seri binomial adalah kasus khusus dari teorema binomial yang menyatakan bahwa (1 + x) ^ n = jumlah_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Dengan ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Apa yang kita miliki adalah (z ^ 2-1) ^ (1/2) , ini bukan bentuk yang benar. Untuk memperbaiki ini, ingat bahwa i ^ 2 = -1 jadi kita memiliki: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) Ini sekarang dalam bentuk yang benar dengan x =