Bagaimana Anda menggunakan seri binomial untuk memperluas sqrt (z ^ 2-1)?

Menjawab:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Penjelasan:

Saya cukup suka cek ganda karena sebagai mahasiswa fisika saya jarang berhasil # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # untuk x kecil jadi saya agak berkarat. Seri binomial adalah kasus khusus dari teorema binomial yang menyatakan itu

# (1 + x) ^ n = jumlah_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Dengan # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Apa yang kita miliki adalah # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, ini bukan bentuk yang benar. Untuk memperbaiki ini, ingat itu # i ^ 2 = -1 # jadi kita punya:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Ini sekarang dalam bentuk yang benar dengan #x = -z ^ 2 #

Oleh karena itu, ekspansi akan menjadi:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #