Bagaimana Anda menemukan Batas [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] ketika x mendekati 0?

Menjawab:

Lakukan beberapa perkalian konjugasi dan sederhanakan untuk mendapatkan #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Penjelasan:

Substitusi langsung menghasilkan bentuk yang tidak ditentukan #0/0#, jadi kita harus mencoba sesuatu yang lain.

Coba gandakan # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # oleh # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Teknik ini dikenal sebagai perkalian konjugasi, dan bekerja hampir setiap waktu. Idenya adalah menggunakan perbedaan properti kuadrat # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # untuk menyederhanakan pembilang atau penyebut (dalam hal ini penyebutnya).

Ingat itu # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, atau # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Karena itu kita dapat mengganti penyebutnya, yaitu # 1-cos ^ 2x #, dengan # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Sekarang # sin ^ 2x # membatalkan:

# ((sinx) (batal (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (batal (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Akhiri dengan mengambil batas ekspresi ini:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#