Apa arti penting dari rangkaian angka yang berbeda seperti nyata, rasional, irasional, dll.?

Menjawab:

Beberapa pemikiran …

Penjelasan:

Ada terlalu banyak yang bisa dikatakan di sini, tetapi di sini ada beberapa pemikiran …

Apa itu angka?

Jika kita ingin dapat berargumentasi tentang angka dan hal-hal yang mereka ukur atau menyediakan bahasa untuk mengekspresikannya maka kita membutuhkan dasar yang kuat.

Kita bisa mulai dari bilangan bulat: #0, 1, 2, 3, 4,…#

Ketika kami ingin mengungkapkan lebih banyak hal, kami menemukan perlunya bilangan negatif juga, jadi kami memperluas ide bilangan kami ke bilangan bulat: #0, +-1, +-2, +-3, +-4,…#

Ketika kita ingin membagi angka dengan angka bukan nol maka kita memperluas ide angka kita ke angka rasional # p / q # dimana #p, q # adalah bilangan bulat dan #q! = 0 #.

Kemudian kita menemukan ketidaknyamanan seperti fakta bahwa diagonal dari sebuah persegi dengan sisi rasional memiliki panjang yang tidak dapat kita ungkapkan sebagai bilangan rasional. Untuk memperbaikinya kita harus memperkenalkan akar kuadrat - sejenis bilangan irasional. Akar kuadrat memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan seperti:

# x ^ 2 + 4x + 1 = 0 #

Seringkali ketika kita berurusan dengan bilangan irasional suka #sqrt (2) # kami meninggalkannya dalam bentuk aljabar atau menggunakan pendekatan desimal seperti #sqrt (2) ~~ 1.414213562 #.

Perhatikan bahwa angka yang telah kita bicarakan sejauh ini memiliki urutan total alami - kita dapat menempatkannya pada sebuah garis sedemikian rupa sehingga dua angka dapat dibandingkan.

Bagaimana dengan seluruh lini?

Umumnya dikenal sebagai garis bilangan real, dengan setiap titik dari garis dikaitkan dengan angka.

Bagaimana kita dapat berargumentasi tentang angka pada baris ini secara umum?

Kita dapat menggunakan total pemesanan, properti aritmatika, dan karakterisasi bilangan real dalam batasan. Secara umum, penalaran tentang bilangan real melibatkan lebih banyak pemikiran semacam itu.

Jadi apakah matematika menjadi lebih rumit ketika kita beralih dari penalaran tentang bilangan asli ke penalaran tentang bilangan real? Tidak, ini menjadi berbeda - sangat berbeda. Misalnya, masalah yang belum terpecahkan dalam matematika adalah:

Apakah ada jumlah pasangan prima yang tak terbatas - mis. Pasangan angka # p # dan # p + 2 # sedemikian rupa sehingga keduanya prima.

Kedengarannya cukup sederhana, tetapi hal terbaik yang bisa kita lakukan sejauh ini adalah menunjukkan bahwa ada jumlah pasangan prima yang tak terbatas # p #, # p + 246 # dan bahkan itu sangat rumit.