Apa itu vektor eigen? + Contoh

Menjawab:

Jika vektor # v # dan transformasi linear dari ruang vektor #SEBUAH# seperti itu #A (v) = k * v # (dimana konstan # k # disebut nilai eigen), # v # disebut vektor eigen transformasi linear #SEBUAH#.

Penjelasan:

Bayangkan transformasi linear #SEBUAH# peregangan semua vektor dengan faktor #2# di ruang tiga dimensi. Setiap vektor # v # akan diubah menjadi # 2v #. Karena itu, untuk transformasi ini semua vektor vektor eigen dengan nilai eigen dari #2#.

Pertimbangkan rotasi ruang tiga dimensi di sekitar sumbu Z dengan sudut # 90 ^ o #. Jelas, semua vektor kecuali yang sepanjang sumbu Z akan mengubah arah dan, oleh karena itu, tidak bisa vektor eigen. Tetapi vektor-vektor itu sepanjang sumbu Z (koordinatnya berbentuk # 0,0, z #) akan mempertahankan arah dan panjangnya, oleh karena itu mereka vektor eigen dengan nilai eigen dari #1#.

Akhirnya, pertimbangkan rotasi oleh # 180 ^ o # dalam ruang tiga dimensi di sekitar sumbu Z. Seperti sebelumnya, semua vektor panjang sumbu Z tidak akan berubah, begitu pula mereka vektor eigen dengan nilai eigen dari #1#.

Selain itu, semua vektor dalam bidang XY (koordinatnya berbentuk # x, y, 0 #) akan mengubah arah ke arah yang berlawanan, sambil mempertahankan panjangnya. Karena itu, mereka juga demikian vektor eigen dengan nilai eigen dari #-1#.

Setiap transformasi linear dari ruang vektor dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor dengan matriks. Sebagai contoh, contoh pertama peregangan digambarkan sebagai perkalian dengan sebuah matriks #SEBUAH#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Matriks seperti itu, dikalikan dengan vektor apa pun # v = {x, y, z} # akan menghasilkan # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Ini jelas sama dengan # 2 * v #. Jadi kita punya

# A * v = 2 * v #, yang membuktikan bahwa vektor apa pun # v # adalah vektor eigen dengan sebuah nilai eigen #2#.

Contoh kedua (rotasi oleh # 90 ^ o # sekitar sumbu Z) dapat digambarkan sebagai perkalian dengan matriks #SEBUAH#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Matriks seperti itu, dikalikan dengan vektor apa pun # v = {x, y, z} # akan menghasilkan # A * v = {- y, x, z} #, yang dapat memiliki arah yang sama dengan vektor asli # v = {x, y, z} # hanya jika # x = y = 0 #, yaitu jika vektor asli diarahkan sepanjang sumbu Z.