Pertanyaan # 53a2b + Contoh

Menjawab:

Definisi jarak ini tidak berubah di bawah perubahan kerangka inersia, dan karenanya memiliki makna fisik.

Penjelasan:

Ruang Minkowski dibangun menjadi ruang 4 dimensi dengan koordinat parameter # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, di mana biasanya kita katakan # x_0 = ct #. Pada inti relativitas khusus, kita memiliki transformasi Lorentz, yang merupakan transformasi dari satu kerangka inersia ke kerangka lainnya yang meninggalkan kecepatan cahaya yang tidak berubah. Saya tidak akan masuk ke derivasi penuh dari transformasi Lorentz, jika Anda ingin saya menjelaskannya, tanyakan saja dan saya akan menjelaskan lebih detail.

Yang penting adalah sebagai berikut. Ketika kita melihat ruang Euclidian (ruang di mana kita memiliki definisi panjang yang biasa kita gunakan) # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), kami memiliki transformasi tertentu; rotasi spasial, terjemahan dan mirrorings. Jika kami menghitung jarak antara dua titik dalam berbagai kerangka referensi yang dihubungkan oleh transformasi ini, kami menemukan jaraknya sama. Ini berarti bahwa jarak Euclidian tidak berubah di bawah transformasi ini.

Sekarang kita memperluas gagasan ini ke ruangwaktu 4-dimensi. Sebelum teori relativitas khusus Einstein, kami menghubungkan kerangka inersia dengan transformasi Galilei, yang baru saja menggantikan koordinat spasial # x_i # oleh # x_i-v_it # untuk #iin {1,2,3} # dimana # v_i # adalah kecepatan pengamat dalam #saya# arah relatif ke bingkai asli. Transformasi ini tidak meninggalkan kecepatan invarian cahaya, tetapi ia meninggalkan jarak yang disebabkan oleh elemen garis # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, hanya karena tidak ada perubahan pada koordinat waktu, sehingga waktu mutlak.

Namun, transformasi Galilei tidak secara akurat menggambarkan transformasi dari satu kerangka inersia ke yang lain, karena kita tahu kecepatan cahaya tidak berubah di bawah transformasi koordinat yang tepat. Karena itu kami telah memperkenalkan transformasi Lorentz. Jarak Euclidian diperluas ke ruangwaktu 4-dim seperti yang dilakukan di atas tidak invarian di bawah transformasi Lorentz ini, namun, jarak yang disebabkan oleh # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # adalah, yang kami sebut jarak yang tepat. Jadi, meskipun jarak Euclidian tempat Teorema Pythagoras ini memegang adalah struktur matematika yang sangat baik pada ruang 4 redup, itu tidak memiliki makna fisik, karena itu tergantung pada pengamat.

Jarak yang tepat tidak tergantung pada pengamat, oleh karena itu kita dapat memberikannya makna fisik, ini dilakukan dengan menghubungkan gaya garis dunia melalui ruang Minkowski menggunakan jarak ini ke waktu berlalu yang diamati oleh objek yang berjalan di sepanjang garis dunia ini. Perhatikan bahwa jika kita membiarkan waktu tetap, teorema Pythagoras masih berlaku dalam koordinat spasial.

EDIT / PENJELASAN TAMBAHAN:

Penanya asli dari pertanyaan ini meminta saya untuk menjelaskan sedikit lebih banyak, ia menulis: "Terima kasih. Tapi, bisakah Anda menjelaskan dua paragraf terakhir sedikit lebih. Dalam sebuah buku yang saya lihat mereka punya # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Tolong jelaskan "Pada dasarnya apa yang kita miliki di sini adalah versi dua dimensi dari apa yang saya jelaskan di atas. Kami memiliki deskripsi ruangwaktu dengan satu waktu dan satu dimensi ruang. Tentang ini kita mendefinisikan jarak, atau lebih tepatnya norma (jarak dari asal ke suatu titik) # s # menggunakan formula # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # dimana # x # adalah koordinat spasial dan # t # koordinat temporal.

Apa yang saya lakukan di atas adalah versi tiga dimensi dari ini, tetapi yang lebih penting saya gunakan # (ds) ^ 2 # dari pada # s ^ 2 # (Saya telah menambahkan tanda kurung untuk klarifikasi tentang apa yang dikuadratkan). Tanpa masuk ke detail geometri diferensial terlalu banyak, jika kita memiliki garis yang menghubungkan dua titik dalam ruang, # ds # adalah panjang potongan kecil garis, yang disebut elemen garis. Melalui versi 2D dari apa yang saya tulis di atas, kami punya # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, yang menghubungkan panjang potongan kecil ini dengan perubahan kecil pada koordinat. Untuk menghitung jarak dari titik asal ke titik # x_0 = a, x_1 = b # dalam ruangwaktu, kita menghitung panjang garis lurus dari titik asal ke titik itu, garis ini diberikan # x_0 = a / bx_1 # dimana # x_1 dalam 0, b #, kami perhatikan itu # dx_0 = a / bdx_1 #jadi # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #jadi # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, yang bisa kita integrasikan, berikan # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Karena itu # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2 x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # di # (t, x) # koordinat.

Jadi memang apa yang saya tulis di atas memberikan apa yang Anda baca di buku. Namun, versi elemen garis memungkinkan Anda menghitung panjang garis apa pun, bukan hanya garis lurus. Kisah tentang transformasi Lorentz masih berlaku, norma ini # s # tidak berubah di bawah perubahan kerangka referensi, sementara # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # tidak.

Fakta bahwa teorema Pythagoras tidak berlaku tidak begitu mengejutkan. Teorema Pythagoras berlaku dalam geometri Euclidean. Ini berarti ruang tempat Anda bekerja datar. Contoh ruang yang tidak rata adalah permukaan bola. Saat Anda ingin menemukan jarak antara dua titik pada permukaan ini, Anda mengambil lintasan terpendek di atas permukaan ini yang menghubungkan kedua titik ini. Jika Anda membuat segitiga siku-siku pada permukaan ini, yang akan terlihat sangat berbeda dari segitiga di ruang Euclidean, karena garis-garisnya tidak akan lurus, teorema Pythagoras tidak berlaku secara umum.

Fitur penting lainnya dari geometri Euclidean adalah ketika Anda meletakkan sistem koordinat pada ruang ini, setiap koordinat melakukan peran yang sama. Anda bisa memutar sumbu dan berakhir dengan geometri yang sama. Dalam geometri Minkowski di atas tidak semua koordinat memiliki peran yang sama, karena sumbu waktu memiliki tanda minus dalam persamaan dan yang lainnya tidak. Jika tanda minus ini tidak ada, waktu dan ruang akan memiliki peran yang sama dalam ruangwaktu, atau setidaknya dalam geometri. Tetapi kita tahu bahwa ruang dan waktu tidak sama.