Misalkan G adalah grup siklik dan G = 48. Bagaimana Anda menemukan semua subkelompok G?

Menjawab:

Subkelompok semuanya bersiklus, dengan pembagian pesanan #48#

Penjelasan:

Semua subkelompok dari grup siklik itu sendiri adalah siklik, dengan pesanan yang merupakan pembagi dari urutan grup.

Untuk melihat mengapa, misalkan # G = <a> # adalah siklik dengan pesanan # N # dan #H sube G # adalah sebuah subkelompok.

Jika # a ^ m dalam H # dan # a ^ n di H #, begitu juga # a ^ (pm + qn) # untuk bilangan bulat apa saja #p, q #.

Begitu # a ^ k dalam H # dimana #k = GCF (m, n) # dan keduanya # a ^ m # dan # a ^ n # berada di # <a ^ k> #.

Khususnya, jika # a ^ k dalam H # dengan #GCF (k, N) = 1 # kemudian #H = <a> = G #.

Juga bukan itu kalau #mn = N # kemudian # <a ^ m> # adalah subkelompok dari # G # dengan pesanan # n #.

Kami dapat menyimpulkan:

• # H # tidak lebih dari #1# generator.
• Urutan # H # adalah faktor # N #.

Dalam contoh kita #N = 48 # dan subkelompok bersifat isomorfik untuk:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

makhluk:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #