Apa poin ekstrem dan pelana dari f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Menjawab:

# {: ("Critical Point", "Kesimpulan"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "saddle"), ((-1,2), "saddle "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Penjelasan:

Teori untuk mengidentifikasi ekstrema # z = f (x, y) # aku s:

Memecahkan secara bersamaan persamaan kritis

# (parsial f) / (parsial x) = (parsial f) / (parsial y) = 0 # (yaitu # z_x = z_y = 0 #)
Evaluasi #f_ (x x), f_ (yy) dan f_ (xy) (= f_ (yx)) # di masing-masing titik kritis ini. Karena itu evaluasi # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # di masing-masing titik ini
Tentukan sifat ekstrema;

# {: (Delta> 0, "Ada minimum jika" f_ (xx) <0), (, "dan maksimum jika" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "ada titik pelana"), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Jadi kita punya:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Mari kita cari turunan parsial pertama:

# (sebagian f) / (parsial x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (sebagian f) / (sebagian y) = 2xy + 2y #

Jadi persamaan kritis kami adalah:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Dari persamaan kedua kita memiliki:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # ke dalam persamaan Pertama dan kita dapatkan:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # ke dalam persamaan Pertama dan kita dapatkan:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

Dan begitulah yang kita miliki empat titik kritis dengan koordinat;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Jadi, sekarang mari kita lihat turunan parsial kedua sehingga kita dapat menentukan sifat dari poin kritis:

# (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2) = 12x + 10 #

# (sebagian ^ 2f) / (sebagian y ^ 2) = 2x + 2 #

# (sebagian ^ 2f) / (parsial x parsial y) = 2y (= (parsial ^ 2f) / (parsial y parsial x)) #

Dan kita harus menghitung:

# Delta = (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2) (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) - ((parsial ^ 2f) / (parsial x sebagian y)) ^ 2 #

di setiap titik kritis. Nilai turunan parsial kedua, #Delta#, dan kesimpulannya adalah sebagai berikut:

# {: ("Titik Kritis", (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2), (parsial ^ 2f) / (parsial x parsial y), Delta, "Kesimpulan"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "saddle"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "saddle"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "maks"):} #

Kita dapat melihat titik-titik kritis ini jika kita melihat plot 3D: