Tali sepanjang 20 cm dipotong menjadi dua bagian. Salah satu potongan digunakan untuk membentuk perimeter persegi?

Menjawab:

# "Total area minimum = 10.175 cm²." #

# "Total area maksimum = 25 cm²." #

Penjelasan:

# "Beri nama x panjang potongan untuk membentuk kotak."

# "Maka luas bujur sangkar adalah" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Batas dari segitiga adalah" 20-x "." #

# "Jika y adalah salah satu sisi yang sama dari segitiga, maka kita memiliki" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Total area =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Ini adalah parabole dan minimum untuk parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "adalah" x = -b / (2 * a) ", jika a> 0." #

# "Maksimumnya adalah" x-> oo ", jika a> 0." #

# "Jadi minimumnya adalah" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2))))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Total area =" 10.175 "cm²." #

# "Maksimumnya adalah x = 0 atau x = 20." #

# "Kami memeriksa area:" #

# "Ketika" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Kapan" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Jadi total luas maksimum adalah 25 cm²." #

Menjawab:

Area minimum adalah #10.1756# dan maksimum adalah #25#

Penjelasan:

Perimeter segitiga sama kaki siku-siku kanan #Sebuah# aku s # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # dan wilayahnya # a ^ 2/2 #,

Biarkan satu potong # x # cm. dari mana kita membentuk segitiga sama kaki siku kanan. Jelas bahwa sisi segitiga sama kaki siku kanan akan # x / (2 + sqrt2) # dan wilayahnya adalah

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) # #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Perimeter bagian lain dari string yang membentuk bujur sangkar adalah # (20-x) # dan sebagai sisi kotak adalah # (20-x) / 4 # wilayahnya adalah # (20-x) ^ 2/16 # dan total area # T # dari keduanya

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Perhatikan itu # 3-2sqrt2> 0 #, karenanya koefisien # x ^ 2 # positif dan karenanya kita akan memiliki minimal dan kita dapat menulis # T # sebagai

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Sebagai # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # selalu positif, kami memiliki nilai minimum # T # kapan # x = 11.8596 #.

Perhatikan bahwa secara teoritis tidak ada maksima untuk fungsi, tetapi sebagai nilai # x # berada diantara #0,20#, dan kapan # x = 0 #, kita punya # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

dan kapan # x = 20 # kapan # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

dan karenanya maxima adalah #25#

grafik {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}