Sepasang dadu enam sisi yang adil dilemparkan delapan kali. Temukan probabilitas bahwa skor lebih besar dari 7 dinilai tidak lebih dari lima kali?

Menjawab:

#~=0.9391#

Penjelasan:

Sebelum kita membahas pertanyaan itu sendiri, mari kita bicara tentang metode untuk menyelesaikannya.

Katakanlah, misalnya, bahwa saya ingin memperhitungkan semua kemungkinan hasil dari membalik koin yang adil tiga kali. Saya bisa mendapatkan HHH, TTT, TTH, dan HHT.

Probabilitas H adalah #1/2# dan probabilitas untuk T juga #1/2#.

Untuk HHH dan untuk TTT, yaitu # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # setiap.

Untuk TTH dan HHT, itu juga # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # masing-masing, tetapi karena ada 3 cara saya bisa mendapatkan hasil masing-masing, akhirnya menjadi # 3xx1 / 8 = 3/8 # setiap.

Ketika saya merangkum hasil ini, saya dapatkan #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - yang berarti saya sekarang memiliki semua kemungkinan hasil flip koin dicatat.

Perhatikan bahwa jika saya atur # H # menjadi # p # dan karena itu miliki # T # menjadi # ~ p #, dan juga perhatikan bahwa kami memiliki garis dari Segitiga Pascal #(1,3,3,1)#, kami telah menyiapkan bentuk:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

dan dalam contoh ini, kita mendapatkan:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Sekarang kita bisa melakukan masalah.

Kami diberi jumlah gulungan sebanyak 8, jadi # n = 8 #.

# p # adalah jumlah yang lebih besar dari 7. Untuk menemukan kemungkinan mendapatkan jumlah yang lebih besar dari 7, mari kita lihat kemungkinan gulungan:

# ((warna (putih) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Dari 36 kemungkinan, 15 gulungan memberi jumlah lebih besar dari 36, memberi kemungkinan #15/36=5/12#.

Dengan # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Kita dapat menuliskan seluruh jumlah kemungkinan - mulai dari mendapatkan semua 8 roll menjadi jumlah yang lebih besar dari 7 hingga membuat semua 8 roll menjadi jumlah 7 atau kurang:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

tetapi kami tertarik untuk menyimpulkan hanya istilah-istilah yang memiliki jumlah lebih dari 7 yang terjadi 5 kali atau kurang:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Menjawab:

#0.93906#

Penjelasan:

# "Jadi P hasil> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "ini terjadi k kali pada 8 lemparan" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(distribusi binomial)" #

# "dengan" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinasi)" #

# "Jadi," #

#P "ini terjadi paling banyak 5 kali pada 8 lemparan" #

# = 1 - P "ini terjadi 6, 7, atau 8 kali pada 8 lemparan" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#