Y = f (x) diberikan.Grafik, y = f (3x) -2 dan y = -f (x-1)?

Menjawab:

Jangan punya kertas grafik yang berguna - jadi saya harap uraiannya membantu!

Penjelasan:

Untuk # y = f (3x) -2 # pertama meremas grafik yang diberikan di sepanjang # x # sumbu dengan faktor 3 (sehingga minimum tangan kiri, katakanlah, terjadi pada # x = -2 / 3 #), lalu tekan seluruh grafik turun sebanyak 2 unit. Dengan demikian grafik baru akan memiliki minimum pada #x = -2 / 3 # dengan nilai # y = -2 #, maksimal pada #(0,0)# dan minimum lain di #(4/3, -4)#

Untuk # y = -f (x-1) # pertama-tama geser grafik 1 unit ke kanan, lalu balik terbalik! Jadi, grafik baru akan ave dua maksimal di #(-1,0)# dan #(5,2)# dan minimum pada #(1,-2) #

Menjawab:

Berikut ini penjelasan yang lebih detail

Penjelasan:

Masalahnya adalah kasus khusus dari masalah yang lebih umum:

Diberikan grafik untuk # y = f (x) #, apa grafik dari #y = a f (b x + c) + d # ?

(yang pertama adalah untuk # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, sedangkan yang kedua adalah untuk # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Saya akan mencoba menjelaskan jawabannya dalam langkah-langkah, dengan mengatasi masalah satu demi satu. Ini akan menjadi jawaban yang cukup panjang - tapi semoga prinsip umum akan jelas pada akhir.

Sebagai ilustrasi, saya akan menggunakan kurva tertentu yang saya tunjukkan di bawah, tetapi idenya akan bekerja secara umum.

(Jika ada yang tertarik, fungsi yang sedang direncanakan di sini adalah #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Diberikan grafik untuk # y = f (x) #, apa grafik dari #y = f (x) + d # ?

Yang ini mudah - yang harus Anda lakukan adalah perhatikan bahwa jika # (x, y) # adalah titik pada grafik pertama, lalu # (x, y + d) # adalah titik pada yang kedua. Ini berarti bahwa grafik kedua lebih tinggi dari yang pertama dengan jarak # d # (tentu saja jika # d # negatif, lebih rendah dari grafik pertama oleh # | d | #).

Jadi, grafik # y = f (x) + 1 # akan

Seperti yang Anda lihat, grafik untuk #y = f (x) + 1 # (garis ungu solid) diperoleh dengan hanya mendorong grafik untuk # y = f (x) # (garis putus-putus berwarna abu-abu) naik oleh satu unit.

Grafik untuk # y = f (x) -1 # dapat ditemukan dengan mendorong grafik asli turun oleh satu unit:

2) Diberikan grafik untuk # y = f (x) #, apa grafik dari #y = f (x + c) # ?

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika # (x, y) # adalah titik pada # y = f (x) # grafik, lalu # (x-c, y) # akan menjadi titik pada #y = f (x + c) # grafik. Ini berarti Anda bisa mendapatkan grafik #y = f (x + c) # dari grafik #y = f (x) # hanya dengan menggesernya ke kiri oleh # c # (tentu saja jika # c # negatif, Anda harus menggeser grafik aslinya # | c | # ke kanan.

Sebagai contoh, grafik untuk # y = f (x + 1) # dapat ditemukan dengan mendorong grafik asli ke kiri oleh satu unit:

sementara itu untuk # y = f (x-1) # melibatkan mendorong grafik asli ke kanan oleh satu unit:

3) Diberikan grafik untuk # y = f (x) #, apa grafik dari #y = f (bx) # ?

Sejak #f (x) = f (b kali x / b) # maka jika # (x, y) # adalah titik pada #y = f (x) # grafik, lalu # (x / b, y) # adalah titik pada # y = f (bx) # grafik.

Ini berarti bahwa grafik aslinya harus diperas oleh faktor # b # sepanjang # x # sumbu. Tentu saja, diperas oleh # b # benar-benar a peregangan oleh # 1 / b # untuk kasus dimana # 0 <b <1 #

Grafik untuk # y = f (2x) # aku s

Perhatikan bahwa sementara tingginya tetap sama pada 1, lebar menyusut oleh faktor 2. Secara khusus, puncak kurva asli telah bergeser dari # x = 1 # untuk # x = 1/2 #.

Di sisi lain, grafik untuk # y = f (x / 2) # aku s

Perhatikan bahwa grafik ini dua kali lebih luas (diperas oleh #1/2# menjadi sama dengan peregangan dengan faktor 2), dan puncaknya juga telah bergerak # x = 1 # untuk # x = 2 #.

Harus disebutkan secara khusus kasus di mana # b # negatif. Mungkin yang terbaik adalah memikirkan ini sebagai proses dua langkah

• Pertama cari grafik # y = f (-x) #, lalu
• peras grafik yang dihasilkan oleh # | b | #

Perhatikan bahwa untuk setiap poin # (x, y) # dari grafik asli, intinya # (- x, y) # adalah titik pada grafik # y = f (-x) # - sehingga grafik baru dapat ditemukan dengan mencerminkan yang lama tentang # Y # sumbu.

Sebagai ilustrasi proses dua langkah, perhatikan grafik # y = f (-2x) # ditunjukkan di bawah ini:

Di sini kurva asli, untuk itu # y = f (x) # pertama kali dibalik tentang # Y # sumbu untuk mendapatkan kurva # y = f (-x) # (garis cyan tipis). Ini kemudian diperas oleh faktor #2# untuk mendapatkan kurva untuk # y = f (-2x) # - kurva ungu tebal.

4) Diberikan grafik untuk # y = f (x) #, apa grafik dari #y = af (x) # ?

Polanya sama di sini - jika # (x, y) # adalah titik pada kurva aslinya # (x, ay) # adalah titik pada grafik # y = af (x) #

Ini berarti untuk yang positif #Sebuah#, grafik akan diregangkan oleh faktor #Sebuah# sepanjang # Y # sumbu. Sekali lagi, nilai #Sebuah# antara 0 dan 1 berarti bahwa alih-alih diregangkan, kurva sebenarnya akan diperas oleh faktor # 1 / a # sepanjang # Y # sumbu.

Kurva di bawah ini untuk # y = 2f (x) #

Perhatikan bahwa saat puncak berada pada nilai yang sama dengan # x # - tingginya dua kali lipat dari 2. Tentu saja bukan hanya puncak yang telah diregangkan - # y # koordinat dari setiap titik kurva asli telah digandakan untuk mendapatkan kurva baru.

Gambar di bawah ini menggambarkan tekanan yang terjadi saat #0<>

Sekali lagi, kasing untuk #a <0 # mengambil perawatan khusus - dan lebih baik jika Anda melakukan ini dalam dua langkah

1. Pertama, flip kurva terbalik tentang # X # sumbu untuk mendapatkan kurva # y = -f (x) #
2. Regangkan kurva dengan # | a | # sepanjang # Y # sumbu.

Kurva untuk # y = -f (x) # aku s

sedangkan gambar di bawah menggambarkan dua langkah yang terlibat dalam menggambar kurva #y = -2f (x) #

Menyatukan semuanya

Sekarang kita telah melalui langkah-langkah individual, mari kita satukan semuanya! Prosedur untuk menggambar kurva untuk

# y = a f (bx + c) + d #

mulai dari itu # y = f (x) # pada dasarnya terdiri dari langkah-langkah berikut

1. Plot kurva # y = f (x + c) #: menggeser grafik dengan jarak # c # ke kiri
2. Kemudian plot itu #y = f (bx + c) #: tekan kurva yang Anda dapatkan dari langkah 1 di menu # X # arah oleh faktor # | b | #, (pertama membalikkan tentang # Y # sumbu jika #b <0 #)
3. Kemudian plot grafik # y = af (bx + c) #: skala kurva yang Anda dapatkan dari langkah 2 hingga faktor #Sebuah# dalam arah vertikal.
4. Terakhir dorong kurva yang Anda dapatkan pada langkah 3 ke atas dengan jarak # d # untuk mendapatkan hasil akhir.

Tentu saja Anda perlu melakukan keempat langkah hanya dalam kasus-kasus ekstrim - sering kali jumlah langkah yang lebih kecil akan dilakukan! Juga, urutan langkah-langkah itu penting.

Jika Anda bertanya-tanya, langkah-langkah ini mengikuti fakta bahwa jika # (x, y) # adalah titik pada # y = f (x) # grafik, lalu intinya

# ({x-c} / b, ay + d) # ada di # y = af (bx + c) + d # grafik.

Biarkan saya menggambarkan proses dengan contoh dengan fungsi kita #f (x) #. Mari kita coba buat grafik untuk #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Pertama - bergeser ke kiri sebanyak 3 unit

Lalu: peras dengan faktor 2 di sepanjang # X # sumbu

Kemudian, balik grafik tentang # X # sumbu dan kemudian penskalaan dengan faktor 2 sepanjang # Y #

Akhirnya, menggeser kurva ke atas dengan 1 unit - dan kita selesai!