Misalkan S1 dan S2 adalah subruang bukan nol, dengan S1 terdapat di dalam S2, dan misalkan redup (S2) = 3?

Menjawab:

#1. {1, 2}#

#2. {1, 2, 3}#

Penjelasan:

Kuncinya di sini adalah untuk mencatat yang diberi subruang # U # dari ruang vektor # V #, kita punya #dim (U) <= redup (V) #. Cara mudah untuk melihat ini adalah dengan mencatat bahwa ada dasar dari # U # akan tetap independen secara linear di # V #, dan karenanya harus menjadi dasar dari # V # (jika # U = V #) atau memiliki elemen lebih sedikit daripada basis # V #.

Untuk kedua bagian masalah, kami punya # S_1subeS_2 #, artinya, dengan di atas, itu #dim (S_1) <= redup (S_2) = 3 #. Selain itu, kami tahu # S_1 # adalah nol, artinya #dim (S_1)> 0 #.

#1.# Sebagai # S_1! = S_2 #, kita tahu ketimpangan itu #dim (S_1) <dim (S_2) # sangat ketat. Demikian # 0 <redup (S_1) <3 #, berarti #dim (S_1) dalam {1,2} #.

#2.# Satu-satunya hal yang berubah untuk bagian ini adalah bahwa sekarang kita memiliki opsi untuk # S_1 = S_2 #. Ini mengubah ketidaksetaraan menjadi # 0 <redup (S_1) <= 3 #, berarti # S_1 dalam {1,2,3} #

Nol dari fungsi f (x) adalah 3 dan 4, sedangkan nol dari fungsi kedua g (x) adalah 3 dan 7. Berapakah nol dari fungsi y = f (x) / g (x )?

Hanya nol dari y = f (x) / g (x) adalah 4. Karena nol dari fungsi f (x) adalah 3 dan 4, ini berarti (x-3) dan (x-4) adalah faktor-faktor dari f (x ). Selanjutnya, nol dari fungsi kedua g (x) adalah 3 dan 7, yang berarti (x-3) dan (x-7) adalah faktor-faktor dari f (x). Ini berarti dalam fungsi y = f (x) / g (x), meskipun (x-3) harus membatalkan penyebut g (x) = 0 tidak didefinisikan, ketika x = 3. Itu juga tidak didefinisikan ketika x = 7. Karenanya, kami memiliki lubang di x = 3. dan hanya nol dari y = f (x) / g (x) adalah 4.

Katakanlah K dan L adalah dua ruang vektor nyata subruang yang berbeda V. Jika diberi redup (K) = redup (L) = 4, bagaimana menentukan dimensi minimal yang mungkin untuk V?

5 Biarkan keempat vektor k_1, k_2, k_3 dan k_4 membentuk basis dari ruang vektor K. Karena K adalah subruang dari V, keempat vektor ini membentuk himpunan bebas linear dalam V. Karena L adalah subruang dari V yang berbeda dari K , harus ada setidaknya satu elemen, misalkan l_1 dalam L, yang tidak dalam K, yaitu, yang bukan kombinasi linear dari k_1, k_2, k_3 dan k_4. Jadi, himpunan {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} adalah himpunan vektor bebas linear dalam V. Jadi, dimensi V setidaknya 5! Bahkan, dimungkinkan untuk rentang {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} menjadi seluruh ruang vektor V - sehingga jumlah minimum vektor basis harus 5. Sepe

Misalkan V = R³ dan W = {(x, y, z) x + y + z = 0} menjadi subruang dari V. Manakah dari pasangan vektor berikut ini dalam coset yang sama dengan W dalam V? (i) (1,3,2) dan (2,2,2). (ii) (1,1,1) dan (3,3,3).

Mbox {i)} (1,3,2) mbox {and} (2,2,2): qquad qquad qquad mbox {milik grup yang sama dengan} W. mbox {ii)} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): qquad qquad qquad mbox {tidak termasuk dalam jenis yang sama dari} W. mbox {1) Perhatikan bahwa, dengan diberikan pada} W, mbox {kami dapat menjelaskan} mbox {elemen-elemen} W mbox {sebagai vektor-vektor dari} V mbox {di mana} mbox {jumlah koordinatnya} 0. mbox {2) Sekarang ingat bahwa:} mbox {dua vektor milik coset yang sama dari setiap subruang} qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff qquad mbox {perbedaannya adalah milik subruang itu sendiri}. mbox {3) D