Katakanlah K dan L adalah dua ruang vektor nyata subruang yang berbeda V. Jika diberi redup (K) = redup (L) = 4, bagaimana menentukan dimensi minimal yang mungkin untuk V?

Menjawab:

5

Penjelasan:

Biarkan keempat vektor # k_1, k_2, k_3 # dan # k_4 # membentuk dasar dari ruang vektor # K #. Sejak # K # adalah subruang dari # V #, keempat vektor ini membentuk himpunan bebas linear dalam # V #. Sejak # L # adalah subruang dari # V # berbeda dari # K #, harus ada setidaknya satu elemen, katakanlah # l_1 # di # L #, yang tidak ada dalam # K #, yaitu, yang bukan merupakan kombinasi linear dari # k_1, k_2, k_3 # dan # k_4 #.

Jadi, set # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # adalah seperangkat vektor bebas linear di # V #. Demikian dimensi dari # V # setidaknya 5!

Bahkan, dimungkinkan untuk rentang # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # menjadi seluruh ruang vektor # V # - sehingga jumlah minimum vektor basis harus 5.

Sebagai contoh, mari # V # menjadi # RR ^ 5 # dan biarkan # K # dan # V # terdiri dari vektor bentuk

# ((alpha), (beta), (gamma), (delta), (0)) # dan # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Sangat mudah untuk melihat bahwa vektor

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#dan #((0),(0),(0),(0),(0))#

membentuk dasar dari # K #. Tambahkan vektor #((0),(0),(0),(0),(0))#, dan Anda akan mendapatkan dasar untuk seluruh ruang vektor,