Bagaimana saya bisa menyelesaikan persamaan diferensial ini?

Menjawab:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Penjelasan:

Ini adalah sebuah persamaan diferensial yang dapat dipisahkan, Yang berarti bahwa mungkin untuk mengelompokkan # x # ketentuan & # y # istilah pada sisi yang berlawanan dari persamaan. Jadi, inilah yang akan kita lakukan pertama kali:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Sekarang, kami ingin mendapatkannya dy di sisi dengan y, dan dx di sisi dengan x's. Kami perlu melakukan sedikit pengaturan ulang:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Sekarang, kami mengintegrasikan kedua sisi:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Mari kita lakukan setiap integral pada gilirannya:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Pertama, mari kita bagi menjadi 2 integral terpisah dengan aturan penjumlahan / pengurangan:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Ini terlihat agak menjengkelkan. Namun, kami dapat memberi mereka sedikit perubahan agar terlihat lebih bagus (dan lebih mudah dipecahkan):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Keduanya sekarang sederhana # u #integral -substitusi. Jika Anda mengatur #u = -x # dan # -3x # masing-masing, Anda akan mendapatkan jawabannya sebagai:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

#Jika kita membuat eksponen negatif menjadi positif, kita dapat:

#int (kamu ^ y) dy #

Kita perlu menggunakan integrasi oleh bagian-bagian untuk ini. Rumusnya adalah:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Kita akan siap #u = y #, dan #dv = e ^ y dy #. Alasannya adalah kita menginginkan yang mudah # du # untuk integrasi akhir itu, dan juga karena # e ^ y # sangat mudah diintegrasikan.

Begitu:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Sekarang, kita cukup colokkan dan tarik:

# => int (kamu ^ y) dy = kamu ^ y - int (e ^ y) dy #

# = kamu ^ y - e ^ y #

Masukkan semuanya kembali:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Menyingkirkan eksponen negatif:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

Dan itu jawaban akhir yang lumayan bagus. Jika Anda ingin menyelesaikannya # y #, Anda bisa, dan Anda akan berakhir dengan

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Perhatikan bahwa kita tidak punya # + C # pada LHS dari persamaan ini. Alasan untuk ini adalah bahwa bahkan jika kita memasukkannya, kita akhirnya akan mengurangkannya dari RHS, dan konstanta arbitrer dikurangi konstanta arbitrer masih (tunggu saja) konstanta arbitrer. Karenanya, untuk masalah-masalah ini selama Anda memilikinya # + C # di salah satu sisi persamaan, Anda akan baik-baik saja.

Semoga itu membantu:)