Memecahkan persamaan diferensial: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Diskusikan persamaan diferensial macam apa ini, dan kapan bisa muncul?

Menjawab:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Penjelasan:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

terbaik ditulis sebagai

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

yang menunjukkan bahwa ini adalah persamaan diferensial homogen urutan kedua linier

memiliki persamaan karakteristik

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

yang bisa diselesaikan sebagai berikut

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

ini adalah root berulang sehingga solusi umum dalam bentuk

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

ini non-berosilasi dan memodelkan beberapa jenis perilaku eksponensial yang benar-benar tergantung pada nilai A dan B. Orang mungkin mengira itu bisa menjadi upaya untuk memodelkan populasi atau interaksi predator / mangsa tetapi saya tidak bisa mengatakan sesuatu yang sangat spesifik.

itu menunjukkan ketidakstabilan dan hanya itu yang bisa saya katakan tentang itu

Menjawab:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Penjelasan:

Persamaan diferensial

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

adalah persamaan koefisien konstanta homogen linier.

Untuk persamaan tersebut, solusi umum memiliki struktur

#y = e ^ {lambda x} #

Mengganti yang kita miliki

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Sini # e ^ {lambda x} ne 0 # jadi solusinya harus taat

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Memecahkan kita dapatkan

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Saat akarnya berulang, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # juga solusi. Dalam hal # n # root diulang, kita akan memiliki solusi:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # untuk # i = 1,2, cdots, n #

Jadi, untuk mempertahankan jumlah kondisi awal, kami memasukkannya sebagai solusi independen.

Dalam hal ini yang kita miliki

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

yang mengakibatkan

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Persamaan-persamaan itu muncul ketika memodelkan sistem parameter lumped linear seperti yang ditemukan dalam teori sirkuit linear atau mekanika linier. Persamaan tersebut biasanya ditangani menggunakan metode aljabar operasional seperti metode Transformasi Laplace