Berapa kisaran fungsi f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Menjawab:

Kisarannya adalah #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Penjelasan:

Perhatikan bahwa penyebut tidak ditentukan kapan saja

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, yaitu kapanpun

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

atau

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, dimana #n di ZZ # (# n # adalah bilangan bulat).

Sebagai # x # pendekatan #x_ (1, n) # dari bawah, #f (x) # pendekatan # - infty #, sedangkan jika # x # pendekatan #x_ (1, n) # dari atas itu #f (x) # pendekatan # + infty #. Ini disebabkan oleh pembagian oleh "hampir #-0# atau #+0#'.

Untuk #x_ (2, n) # situasinya terbalik. Sebagai # x # pendekatan #x_ (2, n) # dari bawah, #f (x) # pendekatan # + infty #, sedangkan jika # x # pendekatan #x_ (2, n) # dari atas itu #f (x) # pendekatan # -infty #.

Kami mendapatkan urutan interval di mana #f (x) # kontinu, seperti yang bisa dilihat dalam plot. Pertimbangkan dulu "mangkuk" (yang ujung-ujungnya fungsinya pecah # + infty #). Jika kita dapat menemukan minimum lokal dalam interval ini, maka kita tahu itu #f (x) # mengasumsikan semua nilai antara nilai ini dan # + infty #. Kita dapat melakukan hal yang sama untuk "mangkuk terbalik", atau "topi".

Kami mencatat bahwa nilai positif terkecil diperoleh kapan pun penyebutnya #f (x) # adalah sebesar mungkin, saat itulah #sin (x) = 1 #. Jadi kami menyimpulkan bahwa nilai positif terkecil #f (x) # aku s #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Nilai negatif terbesar juga ditemukan #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Karena kontinuitas #f (x) # dalam interval antara diskontinuitas, dan teorema nilai Menengah, kita dapat menyimpulkan bahwa kisaran #f (x) # aku s

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Kurung keras berarti bahwa angka tersebut termasuk dalam interval (mis. #-1/2#), sedangkan tanda kurung lunak berarti bahwa jumlahnya tidak termasuk.

grafik {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}