Tanpa menggunakan fungsi penyelesaian kalkulator bagaimana saya memecahkan persamaan: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Menjawab:

Nolnya adalah # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Penjelasan:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Kami diberitahu itu # (x-5) # adalah faktor, jadi pisahkan:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Kami diberitahu itu # (x + 2) # juga merupakan faktor, jadi pisahkan bahwa:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Diskriminan dari faktor kuadratik yang tersisa adalah negatif, tetapi kita masih dapat menggunakan rumus kuadratik untuk menemukan akar Kompleks:

# x ^ 2-2x + 3 # dalam bentuk # ax ^ 2 + bx + c # dengan # a = 1 #, # b = -2 # dan # c = 3 #.

Akar diberikan oleh rumus kuadratik:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Mari kita coba tanpa menyadarinya # (x-5) # dan # (x + 2) # adalah faktor.

Istilah konstan sama dengan produk akar, jadi

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Koefisien ini adalah nilai integer yang faktor-faktornya # pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Mencoba nilai-nilai itu kita bisa melihatnya

#p (-2) = p (5) = 0 # mendapatkan dua akar.

Kita dapat merepresentasikan polinomial sebagai

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Menghitung sisi kanan dan membandingkan kedua sisi yang kita dapatkan

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Memecahkan untuk # (a, b) # kita mendapatkan # a = -2, b = 3 #

Mengevaluasi akar # x ^ 2-2x + 3 = 0 # kita mendapatkan # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #