Bagaimana Anda menggunakan uji perbandingan batas untuk jumlah 1 / (n + sqrt (n)) untuk n = 1 ke n = oo?

Menjawab:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # menyimpang, ini bisa dilihat dengan membandingkannya #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Penjelasan:

Karena seri ini adalah jumlah angka positif, kita perlu mencari seri konvergen #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # seperti yang #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # dan menyimpulkan bahwa seri kami konvergen, atau kita perlu menemukan seri yang berbeda sehingga #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # dan menyimpulkan seri kami juga berbeda.

Kami berkomentar sebagai berikut:

Untuk

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Karena itu

# n + sqrt (n) <= 2n #.

Begitu

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Karena sudah diketahui itu #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # menyimpang, jadi #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # menyimpang juga, karena jika itu akan bertemu, maka # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n # akan bertemu juga, dan ini tidak terjadi.

Sekarang menggunakan uji perbandingan, kita melihatnya #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # menyimpang.

Tes perbandingan batas mengambil dua seri, # suma_n # dan # sumb_n # dimana #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Jika #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # dimana #L> 0 # dan terbatas, maka keduanya seri bertemu atau keduanya seri menyimpang.

Kita harus membiarkannya # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, urutan dari seri yang diberikan. Baik # b_n # pilihan adalah fungsi yang sangat kuat itu #sebuah# pendekatan sebagai # n # menjadi besar. Jadi, biarkan # b_n = 1 / n #.

Catat itu # sumb_n # diverges (ini adalah seri harmonik).

Jadi, kita lihat itu #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Melanjutkan dengan membagi melalui # n / n #, ini menjadi #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Karena batasnya adalah #1#, yang mana #>0# dan didefinisikan, kita melihat itu # suma_n # dan # sumb_n # akan menyimpang atau menyatu. Karena kita sudah tahu di # sumb_n # menyimpang, kita bisa menyimpulkan itu # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # menyimpang juga.