Apa ekstrem absolut dari f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) dalam [2,9]?

Menjawab:

Minimum absolut adalah # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# yang terjadi saat # x = 9 #.

Maksimum absolut adalah # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # yang terjadi saat # x = 2 #.

Penjelasan:

Extrema absolut dari suatu fungsi adalah nilai-y terbesar dan terkecil dari fungsi pada domain yang diberikan. Domain ini dapat diberikan kepada kami (seperti dalam masalah ini) atau mungkin domain fungsi itu sendiri. Bahkan ketika kita diberi domain, kita harus mempertimbangkan domain dari fungsi itu sendiri, jika itu mengecualikan nilai-nilai dari domain yang kita berikan.

#f (x) # berisi eksponen #1/3#, yang bukan bilangan bulat. Untungnya, domain #p (x) = root3 (x) # aku s # (- oo, oo) # jadi fakta ini bukan masalah.

Namun, kita masih perlu mempertimbangkan fakta bahwa penyebut tidak dapat sama dengan nol. Penyebut akan sama dengan nol saat #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Tidak satu pun dari nilai-nilai ini terletak pada domain yang diberikan #2,9#.

Jadi, kita beralih untuk mencari ekstrema absolut aktif #2,9#. Extrema absolut terjadi pada titik akhir domain atau pada ekstrema lokal, yaitu titik di mana fungsi berubah arah. Extrema lokal terjadi pada titik-titik kritis, yang merupakan titik-titik dalam domain tempat turunannya sama #0# atau tidak ada. Jadi, kita harus menemukan turunannya. Menggunakan aturan hasil bagi:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Jika kita faktor # -3x ^ (- 2/3) # di luar pembilang, kita memiliki:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Tidak ada nilai dari # x # di #2,9# dimana #f '(x) # tidak ada. Tidak ada nilai pada #2,9# dimana #f '(x) = 0 #. Dengan demikian tidak ada titik kritis pada domain yang diberikan.

Menggunakan "tes kandidat," kami menemukan nilai-nilai #f (x) # di titik akhir. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Pemeriksaan cepat pada kalkulator kami menunjukkan bahwa:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (maksimum absolut)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (minimum absolut)

Apa ekstrem absolut dari f (x) = x ^ 3 - 3x +1 dalam [0,3]?

Pada [0,3], maksimum adalah 19 (pada x = 3) dan minimum adalah -1 (pada x = 1). Untuk menemukan ekstrem absolut dari fungsi (kontinu) pada interval tertutup, kita tahu bahwa ekstrema harus terjadi di salah satu angka penting dalam interval atau di titik akhir interval. f (x) = x ^ 3-3x + 1 memiliki turunan f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 tidak pernah terdefinisi dan 3x ^ 2-3 = 0 pada x = + - 1. Karena -1 tidak dalam interval [0,3], kami membuangnya. Satu-satunya angka kritis yang perlu dipertimbangkan adalah 1. f (0) = 1 f (1) = -1 dan f (3) = 19. Jadi, maksimumnya adalah 19 (pada x = 3) dan minimum adalah -1 (pada x = 1).

Apa ekstrem absolut dari f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) dalam [1,4]?

Tidak ada global maxima. Minimum global adalah -3 dan terjadi pada x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, di mana x 1 f '(x) = 2x - 6 Ekstrem absolut terjadi pada titik akhir atau pada angka kritis. Titik akhir: 1 & 4: x = 1 f (1): "tidak terdefinisi" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Titik kritis: f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Pada x = 3 f (3) = -3 Tidak ada global maxima. Tidak ada minimum global adalah -3 dan terjadi pada x = 3.

Apa ekstrem absolut dari f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) dalam [oo, oo]?

X = 0 adalah fungsi maksimum. f (x) = 1 / (1 + x²) Mari kita cari f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Jadi kita dapat melihat bahwa ada solusi yang unik, f ' (0) = 0 Dan juga bahwa solusi ini adalah maksimum fungsi, karena lim_ (x to ± oo) f (x) = 0, dan f (0) = 1 0 / inilah jawaban kami!