Buktikan bahwa set daya adalah bidang?

Menjawab:

Set daya dari set adalah cincin komutatif di bawah operasi alami persatuan dan persimpangan, tetapi bukan bidang di bawah operasi tersebut, karena tidak memiliki elemen terbalik.

Penjelasan:

Diberikan set apa pun # S #, pertimbangkan set daya # 2 ^ S # dari # S #.

Ini memiliki operasi persatuan yang alami # uu # yang berperilaku seperti penambahan, dengan identitas #HAI/# dan persimpangan # nn # yang berperilaku seperti perkalian dengan identitas # S #.

Lebih detail:

• # 2 ^ S # ditutup di bawah # uu #

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #Auu B dalam 2 ^ S #

• Ada identitas # O / dalam 2 ^ S # untuk # uu #

  Jika #A dalam 2 ^ S # kemudian #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # bersifat asosiatif

  Jika #A, B, C dalam 2 ^ S # kemudian #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # bersifat komutatif

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian # A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # ditutup di bawah # nn #

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A nn B dalam 2 ^ S #

• Ada identitas #S dalam 2 ^ S # untuk # nn #

  Jika #A dalam 2 ^ S # kemudian #A nn S = S nn A = A #

• # nn # bersifat asosiatif

  Jika #A, B, C dalam 2 ^ S # kemudian #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # bersifat komutatif

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A nn B = B nn A #

• # nn # adalah distribusi kiri dan kanan berakhir # uu #

  Jika #A, B dalam 2 ^ S # kemudian #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  dan # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Begitu # 2 ^ S # memenuhi semua aksioma yang diperlukan untuk menjadi cincin komutatif dengan tambahan # uu # dan multiplikasi # nn #.

Jika #S = O / # kemudian # 2 ^ S # memiliki satu elemen, yaitu #HAI/#, sehingga gagal untuk memiliki identitas aditif dan multiplikatif yang berbeda dan karena itu bukan bidang.

Kalau tidak perhatikan itu # S # tidak memiliki kebalikan di bawah # uu # dan #HAI/# tidak memiliki kebalikan di bawah # nn #. Begitu # 2 ^ S # tidak membentuk bidang karena kurangnya elemen terbalik.