Jumlah kuadrat dari tiga bilangan bulat adalah 324. Bagaimana Anda menemukan bilangan bulat?

Menjawab:

Satu-satunya solusi dengan bilangan bulat positif yang berbeda adalah #(2, 8, 16)#

Solusi lengkapnya adalah:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Penjelasan:

Kita dapat menyelamatkan diri kita dari beberapa upaya dengan mempertimbangkan bentuk kuadrat apa yang diambil.

Jika # n # adalah bilangan bulat ganjil itu #n = 2k + 1 # untuk beberapa integer # k # dan:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Perhatikan bahwa ini adalah bilangan bulat aneh dari formulir # 4p + 1 #.

Jadi jika Anda menambahkan kuadrat dari dua bilangan bulat ganjil, maka Anda akan selalu mendapatkan bilangan bulat dari formulir # 4k + 2 # untuk beberapa integer # k #.

Catat itu #324 = 4*81# berbentuk # 4k #tidak # 4k + 2 #.

Oleh karena itu kita dapat menyimpulkan bahwa ketiga bilangan bulat harus semuanya genap.

Ada sejumlah solusi terbatas dalam bilangan bulat sejak itu # n ^ 2> = 0 # untuk bilangan bulat apa pun # n #.

Pertimbangkan solusi dalam bilangan bulat non-negatif. Kita dapat menambahkan varian yang melibatkan bilangan bulat negatif di akhir.

Misalkan bilangan bulat terbesar adalah # n #, kemudian:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Begitu:

# 12 <= n <= 18 #

Itu menghasilkan kemungkinan jumlah kuadrat dari dua bilangan bulat lainnya:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Untuk masing-masing nilai ini # k #, misalkan integer tersisa terbesar adalah # m #. Kemudian:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

dan kami membutuhkan # k-m ^ 2 # menjadi kotak yang sempurna.

Maka dari itu kami menemukan solusi:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Jadi satu-satunya solusi dengan bilangan bulat positif yang berbeda adalah #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Mudah untuk menunjukkannya # x, y # dan # z # pasti karena membuat # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # dan # z = 2m_z # kita punya

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # atau

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # yang tidak masuk akal.

Jadi kita akan pertimbangkan mulai sekarang

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Sekarang mempertimbangkan identitasnya

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

dengan # l, m, n # bilangan bulat positif dan pembuatan acak

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

kita punya

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # atau pemecahan untuk # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2)))) #

jadi untuk kelayakan yang kita butuhkan

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # atau

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

maka untuk # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # kami akan memiliki

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # jadi layak # q # adalah

#q_f = {80,72,56,32} # karena #q equiv 0 mod 4 #

jadi kita harus temukan

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # atau

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Di sini karena kami dapat dengan mudah memverifikasi, satu-satunya solusi adalah untuk

# l_1 = 2, m_1 = 4 # karena

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bilah q_1 #

dan akibatnya # n_1 = {4,5} #

dan menggantikan 1 yang kita dapatkan

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

memberikan solusinya

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #