Bisakah suatu fungsi menjadi kontinu dan tidak dapat dibedakan pada domain yang diberikan ??

Menjawab:

Iya nih.

Penjelasan:

Salah satu contoh yang paling mencolok dari ini adalah fungsi Weierstrass, ditemukan oleh Karl Weierstrass yang ia definisikan dalam makalah aslinya sebagai:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

dimana # 0 <a <1 #, # b # adalah bilangan bulat ganjil positif dan #ab> (3pi + 2) / 2 #

Ini adalah fungsi yang sangat runcing yang kontinu di mana-mana di garis Nyata, tetapi tidak dapat dibedakan di mana-mana.

Menjawab:

Ya, jika memiliki titik "bengkok". Salah satu contohnya adalah #f (x) = | x | # di # x_0 = 0 #

Penjelasan:

Fungsi kontinu secara praktis berarti menggambar tanpa mengambil pensil dari kertas. Secara matematis, itu berarti untuk apa saja # x_0 # nilai-nilai #f (x_0) # karena mereka didekati dengan sangat kecil # dx # dari kiri dan kanan harus sama:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

di mana tanda minus berarti mendekati dari kiri dan tanda plus berarti mendekati dari kanan.

Fungsi yang dapat dibedakan secara praktis berarti fungsi yang terus-menerus mengubah kemiringannya (BUKAN pada laju yang konstan). Oleh karena itu, fungsi yang tidak dapat dibedakan pada titik tertentu secara praktis berarti bahwa itu secara tiba-tiba mengubah kemiringannya dari kiri titik itu ke kanan.

Mari kita lihat 2 fungsi.

#f (x) = x ^ 2 # di # x_0 = 2 #

Grafik

grafik {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafik (diperbesar)

grafik {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Sejak pukul # x_0 = 2 # grafik dapat dibentuk tanpa mengambil pensil dari kertas, fungsinya kontinu pada saat itu. Karena tidak bengkok pada titik itu, itu juga dapat dibedakan.

#g (x) = | x | # di # x_0 = 0 #

Grafik

grafik {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

Di # x_0 = 0 # fungsi ini kontinu karena dapat digambar tanpa mengambil pensil dari kertas. Namun, karena itu pada titik itu, fungsi tidak dapat dibedakan.