Berapakah interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Berapakah interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Menjawab:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Penjelasan:

Kita bisa menghilangkan itu #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # adalah deret geometri dengan rasio # r = 1 / (x (1-x)) #.

Sekarang kita tahu bahwa deret geometri bertemu ketika nilai absolut rasio lebih kecil dari 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Jadi kita harus menyelesaikan ketidaksetaraan ini:

# 1 / (x (1-x)) <1 dan 1 / (x (1-x))> -1 #

Mari kita mulai dengan yang pertama:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa pembilang selalu positif dan penyebutnya negatif dalam interval #x in (-oo, 0) U (1, oo) #.

Jadi ini adalah solusi untuk ketidaksetaraan pertama kami.

Mari kita lihat yang kedua:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Ketidaksetaraan ini memiliki solusi:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Jadi seri kami bertemu di mana interval ini benar.

Dengan demikian interval konvergensi kami adalah:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Berapa interval konvergensi sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Lihat di bawah. Menggunakan identitas polinomial (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) yang kita miliki untuk abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) kemudian, untuk x ne k pi, k dalam ZZ kita memiliki jumlah_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Berapa interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan berapa jumlah dalam x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["adalah interval konvergensi untuk x" "x = 3 tidak dalam interval konvergensi sehingga jumlah untuk x = 3 adalah" oo "Perlakukan jumlah seperti yang akan ini adalah deret geometris dengan mensubstitusi "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Lalu kita memiliki" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "untuk" | z | <1 "Jadi interval konvergensi adalah" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatif)" "K

Bagaimana saya menemukan konvergensi atau divergensi dari seri ini? jumlah dari 1 hingga tak terbatas 1 / n ^ lnn

Konvergen Pertimbangkan seri jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, di mana p> 1. Dengan uji-p, seri ini bertemu. Sekarang, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p untuk semua yang cukup besar n selama p adalah nilai yang terbatas. Jadi, dengan uji perbandingan langsung, jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n bertemu. Bahkan, nilainya kira-kira sama dengan 2.2381813.