Berapa interval konvergensi sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Berapa interval konvergensi sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Menggunakan identitas polinomial

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

kami punya untuk #ab x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

lalu, untuk #x ne k pi, k dalam ZZ # kita punya

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Tunjukkan bahwa cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Saya agak bingung jika saya membuat Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), itu akan berubah menjadi negatif karena cos (180 °-theta) = - costheta in kuadran kedua. Bagaimana cara saya membuktikan pertanyaan itu?

Silahkan lihat di bawah ini. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Berapa interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan berapa jumlah dalam x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["adalah interval konvergensi untuk x" "x = 3 tidak dalam interval konvergensi sehingga jumlah untuk x = 3 adalah" oo "Perlakukan jumlah seperti yang akan ini adalah deret geometris dengan mensubstitusi "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Lalu kita memiliki" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "untuk" | z | <1 "Jadi interval konvergensi adalah" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatif)" "K

Berapakah interval konvergensi dari sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Kita dapat menghitung jumlah itu {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n adalah deret geometri dengan rasio r = 1 / (x (1-x)). Sekarang kita tahu bahwa deret geometri bertemu ketika nilai absolut dari rasio lebih kecil dari 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Jadi kita harus menyelesaikan ketidaksetaraan ini: 1 / (x (1-x)) <1 dan 1 / (x (1-x))> -1 Mari kita mulai dengan yang pertama: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa pembilang selalu positif dan penyebutnya negatif d