Misalkan ada dasar untuk dan sejumlah dimensi untuk subruang W dalam RR ^ 4. Mengapa jumlah dimensi 2?

Menjawab:

4 dimensi minus 2 kendala = 2 dimensi

Penjelasan:

Koordinat ke-3 dan ke-4 adalah satu-satunya yang independen. Dua yang pertama dapat dinyatakan dalam dua yang terakhir.

Menjawab:

Dimensi suatu subruang ditentukan oleh basisnya, dan bukan oleh dimensi ruang vektor mana pun, ia merupakan subruang dari.

Penjelasan:

Dimensi ruang vektor ditentukan oleh jumlah vektor dalam basis ruang tersebut (untuk ruang dimensi tak terbatas, ditentukan oleh kardinalitas dasar). Perhatikan bahwa definisi ini konsisten karena kami dapat membuktikan bahwa setiap basis ruang vektor akan memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis lainnya.

Dalam kasus # RR ^ n # kami tahu itu #dim (RR ^ n) = n # sebagai

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

adalah dasar untuk # RR ^ n # dan telah # n # elemen.

Dalam kasus #W = s, t dalam RR # kita dapat menulis elemen apa saja di # W # sebagai #svec (u) + tvec (v) # dimana #vec (u) = (4,1,0,1) # dan #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Dari ini, kita memilikinya # {vec (u), vec (v)} # adalah set spanning untuk # W #. Karena #vec (u) # dan #vec (v) # jelas bukan kelipatan skalar satu sama lain (perhatikan posisi #0#s), itu artinya # {vec (u), vec (v)} # adalah seperangkat rentang bebas linear untuk # W #, yaitu, dasar. Karena # W # memiliki dasar dengan #2# elemen, kami mengatakan itu #dim (W) = 2 #.

Perhatikan bahwa dimensi ruang vektor tidak bergantung pada apakah vektornya mungkin ada di ruang vektor lain dengan dimensi yang lebih besar. Satu-satunya hubungan adalah bahwa jika # W # adalah subruang dari # V # kemudian #dim (W) <= redup (V) # dan #dim (W) = redup (V) <=> W = V #

Misalkan S1 dan S2 adalah subruang bukan nol, dengan S1 terdapat di dalam S2, dan misalkan redup (S2) = 3?

1. {1, 2} 2. {1, 2, 3} Kuncinya di sini adalah untuk mencatat bahwa diberi subruang U dari ruang vektor V, kita memiliki redup (U) <= redup (V). Cara mudah untuk melihatnya adalah dengan mencatat bahwa basis U apa pun masih akan bebas linear dalam V, dan karenanya harus merupakan basis dari V (jika U = V) atau memiliki lebih sedikit elemen daripada basis V. Untuk kedua bagian masalah, kita memiliki S_1subeS_2, yang berarti, dengan yang di atas, redup (S_1) <= redup (S_2) = 3. Selain itu, kita tahu S_1 bukan nol, artinya redup (S_1)> 0. 1. Seperti S_1! = S_2, kita tahu bahwa ketimpangan redup (S_1) <redup (S_2)

Jumlah mainan di dalam lemari berbeda-beda berbanding terbalik dengan jumlah anak di dalam ruangan. Jika ada 28 mainan di dalam lemari ketika ada 4 anak di dalam ruangan, berapa banyak mainan di dalam lemari ketika 7 anak di dalam ruangan?

16 mainan propto 1 / text {children} => t = K * 1 / c t = 28, c = 4 => K = tc = 112 t =?, C = 7 => t = 112/7

Misalkan V = R³ dan W = {(x, y, z) x + y + z = 0} menjadi subruang dari V. Manakah dari pasangan vektor berikut ini dalam coset yang sama dengan W dalam V? (i) (1,3,2) dan (2,2,2). (ii) (1,1,1) dan (3,3,3).

Mbox {i)} (1,3,2) mbox {and} (2,2,2): qquad qquad qquad mbox {milik grup yang sama dengan} W. mbox {ii)} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): qquad qquad qquad mbox {tidak termasuk dalam jenis yang sama dari} W. mbox {1) Perhatikan bahwa, dengan diberikan pada} W, mbox {kami dapat menjelaskan} mbox {elemen-elemen} W mbox {sebagai vektor-vektor dari} V mbox {di mana} mbox {jumlah koordinatnya} 0. mbox {2) Sekarang ingat bahwa:} mbox {dua vektor milik coset yang sama dari setiap subruang} qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff qquad mbox {perbedaannya adalah milik subruang itu sendiri}. mbox {3) D