Bagaimana Anda menemukan representasi deret daya untuk (arctan (x)) / (x) dan berapa radius konvergensi?

Menjawab:

Mengintegrasikan seri daya turunan dari #arctan (x) # lalu bagi dengan # x #.

Penjelasan:

Kita tahu representasi deret kekuatan dari # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # seperti yang #absx <1 #. Begitu # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Jadi seri kekuatan #arctan (x) # aku s #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Anda membaginya dengan # x #, Anda mengetahui bahwa seri kekuatan #arctan (x) / x # aku s #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Katakanlah #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Untuk menemukan jari-jari konvergensi seri daya ini, kami mengevaluasi #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Jadi jika kita ingin seri daya bertemu, kita perlu #ab (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, jadi seri akan konvergen jika #absx <1 #, Yang tidak mengherankan karena itu adalah jari - jari konvergensi dari representasi seri kekuasaan #arctan (x) #.