X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Bagaimana mengatasi x?

Menjawab:

# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Penjelasan:

Karena kuartik ini tidak memiliki akar rasional (dan saya tidak dapat diganggu dengan rumus), kita mulai dengan menggunakan metode Newton untuk memperkirakan akar:

# x ~~ -0,303 #

# x ~~ -0.618 #

# x ~~ 1,618 #

# x ~~ 3.303 #

Dari jumlah tersebut, kami menemukan itu # x ~~ -0.618 # dan # x ~~ 1,618 # menonjol. Kami mengenali ini sebagai rasio emas:

# x = (1 + -sqrt5) / 2 #

Kami juga dapat memverifikasi bahwa mereka adalah root dengan memasukkannya ke dalam persamaan, tetapi Anda dapat mengambil kata saya bahwa mereka memang root.

Ini berarti bahwa yang berikut adalah faktor persamaan:

# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = x ^ 2-x-1 #

Karena kita tahu # x ^ 2-x-1 # adalah faktor, kita dapat menggunakan pembagian panjang polinomial untuk mengetahui sisanya dan menulis ulang persamaannya seperti ini:

# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Kita sudah tahu kapan faktor kiri sama dengan nol, jadi sekarang kita lihat di sebelah kanan. Kita dapat memecahkan kuadratik menggunakan rumus kuadratik untuk mendapatkan:

# x = (3 + -sqrt13) / 2 #