Tunjukkan bahwa int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Menjawab:

Lihat penjelasannya

Penjelasan:

Kami ingin menunjukkan

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Ini adalah integral yang "jelek", jadi pendekatan kami tidak akan menyelesaikan masalah integral ini, tetapi bandingkan dengan integral "lebih baik"

Kami sekarang untuk semua bilangan real positif #color (red) (sin (x) <= x) #

Dengan demikian, nilai integand juga akan lebih besar, untuk semua bilangan real positif, jika kita gantikan # x = sin (x) #, jadi jika kita bisa menunjukkan

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Maka pernyataan pertama kita juga harus benar

Integral baru adalah masalah substitusi sederhana

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Langkah terakhir adalah memperhatikan hal itu #sin (x) = x => x = 0 #

Karena itu bisa kita simpulkan

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #