Apa ekstrem lokal, jika ada, dari f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Menjawab:

Satu-satunya ekstrem adalah # x = 0.90322 … #, minimum fungsi

Tetapi Anda harus menyelesaikan persamaan kubik untuk sampai ke sana dan jawabannya sama sekali tidak 'baik' - apakah Anda yakin pertanyaannya diketik dengan benar? Saya juga menyertakan saran untuk bagaimana mendekati jawaban tanpa masuk ke jumlah analisis yang ditunjukkan sepenuhnya di bawah ini.

Penjelasan:

1. Pendekatan standar mengarahkan kita ke arah yang sulit

Pertama, hitung turunannya:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

jadi (dengan aturan rantai dan hasil bagi)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Kemudian atur ini sama dengan 0 dan pecahkan untuk # x #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Kami memiliki persamaan kubik, yang dapat dipecahkan oleh radikal, tetapi ini masih jauh dari proses yang mudah. Kita tahu bahwa persamaan ini secara umum akan memiliki tiga akar, tetapi tidak bahwa mereka semua akan menjadi nyata, meskipun setidaknya satu dari mereka akan menjadi - bahwa setidaknya satu akan kita ketahui dari Teorema Nilai Menengah - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - yang memberitahu kita bahwa karena fungsinya pergi ke infinity di satu ujung dan minus infinity di yang lain, maka ia harus mengambil semua nilai di antara satu titik atau lainnya.

Menguji beberapa nilai sederhana (1 sering merupakan nilai informatif dan cepat untuk dicoba), kami melihat bahwa ada root di suatu tempat antara 1/2 dan 1, tetapi kami tidak menemukan solusi yang jelas untuk menyederhanakan persamaan dengan. Memecahkan persamaan kubik adalah proses yang panjang dan melelahkan (yang akan kita lakukan di bawah), jadi ada baiknya mencoba menginformasikan intuisi seseorang sebelum melakukannya. Mengujicoba solusi lebih lanjut, kami menemukan bahwa antara 0,9 dan 0,91.

2. Memecahkan masalah yang disederhanakan

Fungsi terdiri dari perbedaan dua istilah, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # dan # f_2 (x) = (x-4) / x #. Untuk sebagian besar kisaran # x #, yang pertama akan sangat mendominasi, karena suku kedua akan mendekati 1 untuk semua nilai # x # jauh dari nilai-nilai kecil. Mari kita bertanya bagaimana perilaku kedua individu itu.

Istilah pertama, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Setel ini sama dengan nol: # x = 3/4 #. Ini berada di wilayah nol fungsi yang kami temukan, tetapi tidak terlalu dekat dengannya.

#f (1) # adalah parabola di # x #, yang menyentuh # x # sumbu pada # x = 3/4 #. Turunannya adalah garis lurus curam dari gradien 32 yang melintasi sumbu x pada titik yang sama.

Istilah kedua, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Tetapkan ini sama dengan nol: tidak ada solusi di # x #. Begitu # f_2 # tidak memiliki ekstrema sebagai fungsi sendiri. Namun ada titik di mana ia meledak hingga tak terbatas: # x = 0 #. Ini menuju ke infinity positif ketika mendekati 0 dari sisi negatif, dan ke infinity negatif ketika mendekati 0 dari sisi positif. Jauh dari titik ini, kurva cenderung ke nilai 1 di kedua sisi. # f_2 # adalah hiperbola yang berpusat di # (x, y) = (0,1) #. Turunannya adalah kurva dalam dua bagian, untuk negatif dan positif # x #. Ini menuju ke infinity positif dari kedua arah di # x = 0 # dan selalu positif.

Catat itu # f_1 ^ '(x) <0 # untuk semua #x <0 #. Tidak ada persimpangan # f_1 ^ '# dan # f_2 ^ '# pada yang negatif # x # sumbu. Lebih positif # x # sumbu harus persis satu persimpangan - satu kurva bergerak dari kurang dari 0 hingga tak terbatas sebagai # x # melakukan hal yang sama sementara yang lain berubah dari tak terhingga ke 0. Dengan penerapan Teorema Nilai Menengah (lihat di atas) mereka harus melewati tepat sekali.

Jadi sekarang kami yakin bahwa kami hanya mencari satu solusi tetapi kami tidak memiliki jawaban yang baik untuk itu.

3. Secara perkiraan perkiraan jawabannya

Dalam situasi profesional yang membutuhkan solusi dari masalah seperti ini, seringkali cara tercepat untuk sampai ke tempat yang Anda butuhkan adalah dengan melakukan pendekatan numerik. Yang cukup bagus untuk menemukan akar suatu fungsi adalah metode Newton-Raphson (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Yaitu: untuk menemukan root dari suatu fungsi # f #, pertama tebak # x_0 # di root, dan kemudian berulang-ulang sesuai dengan rumus ini:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # adalah tebakan yang lebih baik daripada # x_0 #, dan seseorang hanya mengulanginya sampai presisi yang diinginkan tercapai.

Ingat fungsi kami dan turunannya:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Jadi kita mungkin menebak 0,5 sebagai akar kita, menghasilkan # x_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Demikian # f_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, memang jawaban yang lebih dekat. Pengulangan membawa kita ke nilai sekitar 0,9 yang disebutkan di atas.

Jadi kita dapat menemukan jawabannya dengan ketepatan yang sewenang-wenang, tetapi jawaban lengkapnya membutuhkan solusi analitik, sesuatu yang kita catat di atas akan sulit. Jadi di sini kita pergi …

4. Selesaikan masalah lengkap, secara perlahan dan menyakitkan

Sekarang mari kita lakukan solusi kubik penuh (Anda harus mencintai aljabar untuk menyelesaikan ini dengan benar):

Pertama, bagi melalui untuk membuat istilah terkemuka memiliki koefisien 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Kedua, buat substitusi berikut ke variabel # y # untuk menghapus # x ^ 2 # istilah:

Pengganti # x = y + 1/4 #. Lebih umum, untuk persamaan bentuk # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, satu akan menggantikan # x = y-b / (3a) #. Jika Anda mengerjakan aljabar, Anda akan melihat bahwa ini selalu menyebabkan # x ^ 2 # istilah untuk menghilang. Dalam hal ini kami memperoleh:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Perluas tanda kurung, mengingat teorema Binomial:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Perhatikan bahwa keduanya # y ^ 2 # ketentuan tepat membatalkan)

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Kami sekarang memiliki jumlah istilah yang sama dengan yang kami lakukan sebelumnya, karena sebelumnya kami tidak memiliki # y # istilah. Kehilangan # y ^ 2 # istilah adalah keuntungan matematika, janji!

Ketiga, buat substitusi lain (substitusi Vieta: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) untuk mengubahnya menjadi kuadrat:

Pengganti # y = w + 1 / (16w) #. Lebih umum, untuk persamaan bentuk # y ^ 3 + py = q #, substitusi ini adalah # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# w ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Perhatikan bahwa keduanya # w # dan # 1 / w # ketentuan membatalkan dengan tepat)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Sekarang, Anda mungkin bertanya apa manfaatnya - kita telah mengutak-atik persamaan derajat 3 kita sampai kita memiliki persamaan derajat 6, pasti kerugian … Tapi sekarang kita dapat menganggapnya sebagai persamaan kuadratik di # w ^ 3 #, dan kita dapat memecahkan persamaan kuadrat …)

Keempat, pecahkan persamaan kuadratik untuk # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Menggunakan persamaan kuadrat:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Kami punya jawaban! Sekarang kita hanya perlu menghubungkannya kembali ke variabel asli kita # x #.

Kelima, konversikan kembali ke ketentuan asli kami

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Ambil akar pangkat tiga:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Ingat bagaimana kami berhubungan # y # untuk # w # sebelumnya: # y = w + 1 / (16w) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Sekarang # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Sokrates tampaknya tidak menawarkan kebalikan minus-plus dari plus-minus, jadi kita harus menulis seperti ini)

Demikian

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Jika kita mengalikan tanda minus dalam istilah besar kedua, kita dapat melihat bahwa kita memperoleh dua ekspresi yang identik, sehingga kita dapat menghilangkan tanda kuadrat plus / minus, dan menyederhanakan untuk

# y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Akhirnya (!) Ingat bahwa kita atur # x = y + 1/4 #.

Demikian

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Keenam, simpulkan berapa banyak akar ini yang asli

Dua ekspresi dalam akar pangkat tiga masing-masing memiliki satu akar nyata dan dua akar imajiner konjugat. Bilangan real #Sebuah# memiliki tiga akar pangkat tiga # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Sekarang kita tahu bahwa kedua ekspresi di dalam akar pangkat tiga adalah positif (perhatikan # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), dan komponen imajiner dalam nilai kedua dan ketiga untuk # x # tidak dapat dijumlahkan ke nol.

Kesimpulan

Karena itu hanya ada satu root yang nyata untuk # x # (seperti yang kami simpulkan jauh di atas dengan analisis yang lebih sederhana), dan karenanya hanya satu ekstrim lokal pada kurva yang Anda tanyakan, yang diberikan oleh ekspresi

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

atau, dalam desimal

# x = 0.90322 … #

Kita dapat menyimpulkan bahwa ini adalah fungsi minimum oleh fakta bahwa hanya ada satu ekstrem dan fungsi cenderung positif tanpa batas di kedua ujungnya.