Pertanyaan # 059f6

Menjawab:

#f (x) = jumlah_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k +1) #

Penjelasan:

Perkembangan Taylor dari suatu fungsi # f # di #Sebuah# aku s #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Ingatlah bahwa ini adalah rangkaian daya sehingga tidak perlu konvergen # f # atau bahkan bertemu di tempat lain selain di # x = a #.

Kami pertama-tama membutuhkan turunan dari # f # jika kita ingin mencoba menulis formula nyata dari seri Taylor-nya.

Setelah kalkulus dan bukti induksi, kita dapat mengatakan itu #Ak di NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # dan #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Jadi setelah beberapa penyederhanaan kasar dan kecil, tampaknya seri Taylor # f # aku s #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.