Pertanyaan # 242a2

Menjawab:

Untuk energi yang tersimpan di kapasitor saat itu juga # t # kita punya #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # dimana #E (0) # adalah energi awal, # C # kapasitas dan # R # resistansi kawat yang menghubungkan kedua sisi kapasitor.

Penjelasan:

Mari kita tinjau beberapa konsep inti sebelum menjawab pertanyaan ini. Tentu saja kita perlu mengetahui energi yang tersimpan dalam kapasitor, atau lebih tepatnya energi yang tersimpan dalam medan listrik yang diciptakan oleh muatan yang tersimpan dalam kapasitor. Untuk ini kami memiliki formula # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # dengan # C # kapasitas kapasitor dan # Q # muatan disimpan di salah satu pelat kapasitor. 1

Jadi untuk mengetahui bagaimana energi berkurang, kita perlu tahu bagaimana muatannya berkurang. Untuk ini ada beberapa hal yang harus kita ingat. Yang pertama adalah, muatannya hanya bisa berkurang jika bisa ke mana saja. Skenario paling sederhana adalah bahwa kedua pelat terhubung melalui kabel, sehingga pelat dapat bertukar muatan sehingga menjadi netral. Hal kedua adalah jika kita menganggap kawat tidak memiliki resistansi, muatan akan dapat bergerak secara instan, sehingga energi akan turun ke nol pada tingkat itu juga. Karena ini adalah situasi yang membosankan, dan selain itu, tidak terlalu realistis, kami menganggap kawat memiliki beberapa perlawanan # R #, yang dapat kita model dengan menghubungkan pelat kapasitor melalui resistor dengan resistansi # R # menggunakan kabel yang kurang tahan.

Apa yang sekarang kita miliki adalah apa yang disebut sirkuit RC, seperti terlihat di bawah ini. Untuk mengetahui bagaimana perubahan muatan yang disimpan, kita perlu menuliskan beberapa persamaan diferensial. Saya tidak yakin seberapa mahir pembaca dalam matematika, jadi tolong beri tahu saya jika bagian berikut ini tidak jelas bagi Anda, dan saya akan mencoba menjelaskannya lebih terinci.

Pertama-tama kita perhatikan bahwa ketika kita berjalan di sepanjang kawat, kita mengalami dua lompatan potensial listrik (tegangan), yaitu di kapasitor dan di resistor. Lompatan ini diberikan oleh # DeltaV_C = T / C # dan # DeltaV_R = IR # masing-masing 1. Kami mencatat bahwa pada awalnya tidak ada arus, jadi beda potensial pada resistor adalah 0, namun, seperti yang akan kita lihat, akan ada arus ketika muatan mulai bergerak. Sekarang kita perhatikan bahwa ketika kita berjalan di sekitar sirkuit mulai dari satu titik, kita akan berakhir di titik yang sama lagi, karena kita berada di sirkuit. Pada titik tunggal ini potensinya sama dua kali, karena itu adalah titik yang sama. (Ketika saya mengatakan kita berjalan di sepanjang sirkuit, saya tidak bermaksud ini secara harfiah, melainkan kita memeriksa tegangan melompat di sirkuit pada satu titik waktu, jadi tidak ada waktu berlalu ketika berjalan di sepanjang rangkaian, oleh karena itu argumen tetap berlaku, bahkan jika tegangan berubah dalam waktu.)

Ini berarti bahwa total lompatan potensial adalah nol. Begitu # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Sekarang kita pikirkan apa #SAYA#, saat ini. Saat ini bergerak muatan, dibutuhkan muatan positif dari satu pelat kapasitor dan memberikan ke yang lain. (Sebenarnya sebagian besar waktu sebaliknya, tetapi tidak masalah untuk matematika dari masalah ini.) Ini berarti bahwa arus sama dengan perubahan muatan di piring, dengan kata lain # I = (dQ) / dt #. Mengganti ini dalam persamaan di atas memberi kita # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, yang berarti # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Ini adalah persamaan diferensial urutan pertama linier. Ini menentukan perubahan muatan oleh nilai muatan pada waktu itu secara linier, yang berarti bahwa jika muatan dua kali lebih besar, perubahan muatan akan dua kali lebih besar juga. Kita dapat memecahkan persamaan ini dengan menggunakan kalkulus dengan cerdas.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, kami berasumsi # Qne0 #, yang tidak awalnya, dan karena akan berubah, itu tidak akan pernah terjadi. Dengan ini bisa kita katakan # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Untuk mengetahui # Q # di beberapa titik waktu # t # (dengan kata lain #Q (t) #, kami mengintegrasikan persamaan sebagai berikut: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # sejak # C # dan # R # adalah konstanta. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # melalui perubahan variabel. Ini berarti #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #jadi #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Terakhir kita perlu mengganti ini kembali dalam persamaan untuk energi:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Jadi energi turun secara eksponensial melalui waktu. Memang kita melihat bahwa jika # R # harus pergi ke nol, #E (t) # akan langsung ke 0.

1 Griffiths, David J. Pengantar Elektrodinamika. Edisi keempat. Pearson Education Limited, 2014