Bagaimana Anda mengintegrasikan int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) menggunakan fraksi parsial?

Menjawab:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Penjelasan:

Atur persamaan untuk menyelesaikan untuk variabel A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) dx #

Mari kita selesaikan untuk A, B, C terlebih dahulu

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Menyederhanakan

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Atur ulang persyaratan sisi kanan

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

mari kita buat persamaan untuk dipecahkan untuk A, B, C dengan mencocokkan koefisien numerik dari istilah kiri dan kanan

# A + B = 4 "" #persamaan pertama

# 2A + C = 6 "" #persamaan kedua

# A-B-C = -2 "" #persamaan ketiga

Solusi simultan menggunakan hasil persamaan kedua dan ketiga untuk

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #persamaan keempat

Menggunakan sekarang persamaan pertama dan keempat

# 3A-B = 4 "" #persamaan keempat

# 3 (4-B) -B = 4 "" #persamaan keempat

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Selesaikan untuk menggunakan A # 3A-B = 4 "" #persamaan keempat

# 3A-2 = 4 "" #persamaan keempat

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Memecahkan C menggunakan # 2A + C = 6 "" #persamaan kedua dan # A = 2 # dan # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #persamaan kedua

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Kami sekarang melakukan integrasi kami

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + Bersama#

Tuhan memberkati ….. Semoga penjelasannya bermanfaat.

Bagaimana Anda mengintegrasikan int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) menggunakan fraksi parsial?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Kita perlu mencari A, B, C sedemikian sehingga 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) untuk semua x. Lipat gandakan kedua sisi dengan x ^ 2 (2x-1) untuk mendapatkan 1 = Kapak (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Koefisien penyamaan memberi kita {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Dan dengan demikian kita memiliki A = -2, B = -1, C = 4. Mengganti ini dalam persamaan awal, kita mendapatkan 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Sekarang, mengintegrasikannya dengan istilah int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x

Bagaimana Anda menggunakan dekomposisi fraksi parsial untuk menguraikan fraksi untuk mengintegrasikan (3x) / ((x + 2) (x - 1))?

Format yang diperlukan dalam fraksi parsial adalah2 / (x + 2) + 1 / (x-1) Mari kita pertimbangkan dua konstanta A dan B sehingga A / (x + 2) + B / (x-1) Sekarang mengambil LCM kita get (A (x-1) + B (x + 2)) / ((x-1) (x + 2)) = 3x / ((x + 2) (x-1)) Membandingkan pembilang yang kita dapatkan ( A (x-1) + B (x + 2)) = 3x Sekarang menempatkan x = 1 kita mendapatkan B = 1 Dan menempatkan x = -2 kita mendapatkan A = 2 Jadi bentuk yang diperlukan adalah 2 / (x + 2) + 1 / (x-1) Semoga ini membantu !!

Bagaimana Anda mengintegrasikan int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) menggunakan fraksi parsial?

Anda perlu mendekomposisi (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) sebagai fraksi parsial. Anda mencari a, b, c di RR sehingga (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana menemukan satu saja, karena b dan c harus ditemukan dengan cara yang persis sama. Kalikan kedua sisi dengan x + 3, ini akan membuatnya menghilang dari penyebut sisi kiri dan membuatnya muncul di sebelah b dan c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Anda mengevaluasi ini di x-3 u