Apa ekstrem lokal, jika ada, dari f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Menjawab:

#(0.14414, 0.05271)# adalah maksimum lokal

#(1.45035, 0.00119)# dan #(-1.59449, -1947.21451)# adalah minimum lokal.

Penjelasan:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Ini tidak memenuhi syarat sebagai ekstrem lokal.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Untuk menyelesaikan akar dari fungsi kubik ini, kami menggunakan metode Newton-Raphson:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Ini adalah proses berulang yang akan membawa kita lebih dekat dan lebih dekat ke akar fungsi. Saya tidak memasukkan proses panjang di sini, tetapi setelah sampai di root pertama, kita dapat melakukan pembagian panjang dan menyelesaikan sisa kuadrat dengan mudah untuk dua root lainnya.

Kami akan mendapatkan root berikut:

# x = 0.14414, 1.45035, dan -1.59449 #

Kami sekarang melakukan tes turunan pertama dan mencoba nilai di sebelah kiri dan kanan setiap root untuk melihat di mana turunannya positif atau negatif.

Ini akan memberi tahu kami titik mana yang maksimum dan mana minimum.

Hasilnya adalah sebagai berikut:

#(0.14414, 0.05271)# adalah maksimum lokal

#(1.45035, 0.00119)# dan #(-1.59449, -1947.21451)# adalah minimum lokal.

Anda dapat melihat salah satu minimum dalam grafik di bawah ini:

Tampilan berikut menunjukkan maksimum dan minimum lainnya:

Apa ekstrem lokal, jika ada, dari f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x memiliki minimum lokal untuk x = 1 dan maksimum lokal untuk x = 3 Kita memiliki: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x fungsi didefinisikan dalam semua RR sebagai x ^ 2 + 3> 0 AA x Kita dapat mengidentifikasi titik-titik kritis dengan menemukan di mana turunan pertama sama dengan nol: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 sehingga titik kritisnya adalah: x_1 = 1 dan x_2 = 3 Karena penyebutnya selalu positif, tanda f '(x) adalah kebalikan dari tanda pembilang (x ^ 2-4x + 3) Sekarang kita tah

Apa ekstrem lokal, jika ada, dari f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Maksimal lokal 80 (pada x = -1) dan minimum lokal -80 (pada x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Angka kritis adalah: -1, 0, dan 1 Tanda f 'berubah dari + ke - saat kita melewati x = -1, jadi f (-1) = 80 adalah maksimum lokal (Karena f adalah ganjil, kita dapat segera menyimpulkan bahwa f (1) = - 80 adalah minimum relatif dan f (0) bukan ekstrem lokal.) Tanda f 'tidak berubah ketika kita melewati x = 0, jadi f (0) bukan ekstrem lokal. Tanda f 'berubah dari - menjadi + ketika kita melewati x = 1, jadi f (1) = -80 adalah minimum lokal.

Apa ekstrem lokal, jika ada, dari f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Maksimal lokal 13 at 1 dan minimum lokal 0 at 0. Domain f adalah RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 pada x = -1 dan f' (x) tidak ada pada x = 0. Keduanya -1 dan 9 berada dalam domain f, sehingga keduanya merupakan angka kritis. Tes Derivatif Pertama: Aktif (-oo, -1), f '(x)> 0 (misalnya pada x = -2 ^ 15) Aktif (-1,0), f' (x) <0 (misalnya pada x = -1 / 2 ^ 15) Oleh karena itu f (-1) = 13 adalah maksimum lokal. Pada (0, oo), f '(x)> 0 (gunakan sembarang positif x besar) Jadi f (0) = 0 adalah minimum lokal.