Apa akar kuadrat dari 5?

Akar kuadrat dari #5# tidak bisa disederhanakan ayah dari yang sudah ada, jadi di sini # sqrt5 # ke sepuluh tempat desimal:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Menjawab:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # adalah bilangan irasional.

Penjelasan:

Semua bilangan positif biasanya memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan negatif dengan ukuran yang sama. Kami menunjukkan akar kuadrat positif (prinsip.a) dari # n # oleh #sqrt (n) #.

Akar kuadrat dari angka # n # adalah angka # x # seperti yang # x ^ 2 = n #. Jadi jika # x ^ 2 = n # lalu juga # (- x) ^ 2 = n #.

Namun, penggunaan populer adalah bahwa "akar kuadrat" mengacu pada yang positif.

Misalkan kita memiliki angka positif # x # yang memenuhi:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Kemudian gandakan kedua sisi dengan # (2 + x) # kita mendapatkan:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Kemudian kurangi # 2x # dari kedua sisi kita dapatkan:

# x ^ 2 = 5 #

Jadi kami telah menemukan:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) #

Karena fraksi lanjutan ini tidak berakhir, kita dapat mengatakannya #sqrt (5) # tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan terminasi - mis. bilangan rasional. Begitu #sqrt (5) # adalah bilangan irasional yang sedikit lebih kecil dari #2 1/4 = 9/4#. Untuk perkiraan rasional yang lebih baik, Anda dapat mengakhiri fraksi lanjutan setelah lebih banyak istilah.

Sebagai contoh:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Membongkar fraksi lanjutan ini bisa sedikit membosankan, jadi saya umumnya lebih suka menggunakan metode yang berbeda, yaitu rasio pembatas dari urutan bilangan bulat yang didefinisikan secara rekursif.

Tentukan urutan dengan:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Beberapa istilah pertama adalah:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Rasio antara istilah akan cenderung # 2 + sqrt (5) #.

Jadi kami menemukan:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #