T_n (x) adalah polinomial Chebyshev derajat n. FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Bagaimana Anda membuktikan bahwa nilai 18-sd FCF ini untuk n = 2, x = 1,25 adalah # 6.00560689395441650?

Menjawab:

Lihat penjelasan dan grafik super Socrates, untuk FCF yang rumit ini

Penjelasan:

y adalah nilai kosinus hiperbolik, dan karenanya, #abs y> = 1 # dan FCF

grafik simetris terhadap sumbu y.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

FCF dihasilkan oleh

# y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Analog diskrit untuk mendekati y adalah perbedaan nonlinear

persamaan

# y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Di sini, x = 1,25.

Membuat 37 iterasi, dengan starter # y_0 = cosh (1) = 1.54308.. #, presisi panjang 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6.00560689395441650 #

dengan # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #, untuk ketepatan ini.

grafik {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5)) (x-1.25) ((x-1.25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-.001) = 0 -2 2 0 10)}

Grafik untuk 6-sd dalam y (1,25) = 6.00561:

grafik {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5)) ((x-1.25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Saya mengharapkan aplikasi FCF jenis ini, di komputer

perkiraan

Perhatikan bahwa, meskipun fungsi genap, di tengahnya, grafik tidak ada, dan ini diskontinuitas.