Sebuah chord dengan panjang 12 membentang dari pi / 12 ke pi / 6 radian pada lingkaran. Berapa luas lingkaran?

Menjawab:

Luas lingkaran adalah

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Penjelasan:

Gambar di atas mencerminkan kondisi yang ditetapkan dalam masalah. Semua sudut (diperbesar untuk pemahaman yang lebih baik) adalah dalam radian yang dihitung dari sumbu X horisontal #LEMBU# berlawanan arah jarum jam.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Kita harus menemukan jari-jari lingkaran untuk menentukan luasnya.

Kita tahu kunci itu # AB # memiliki panjang #12# dan sudut antara radius # OA # dan # OB # (dimana #HAI# adalah pusat lingkaran) adalah

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Bangun ketinggian # OH # sebuah segitiga #Delta AOB # dari vertex #HAI# ke samping # AB #. Sejak #Delta AOB # sama kaki, # OH # adalah median dan pembagi sudut:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Pertimbangkan segitiga siku-siku #Delta AOH #.

Kita tahu katetus itu # AH = 6 # dan sudut # / _ AOH = pi / 24 #.

Karena itu, sisi miring # OA #, yang merupakan jari-jari lingkaran kita # r #, sama dengan

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Mengetahui radius, kita dapat menemukan area:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Mari kita ungkapkan ini tanpa fungsi trigonometri.

Sejak

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

kami dapat mengekspresikan area sebagai berikut:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Identitas trigonometri lain:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Karena itu,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Sekarang kita dapat mewakili area lingkaran sebagai

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Menjawab:

Pendekatan lain hasilnya sama

Penjelasan:

Akord AB dengan panjang 12 pada gambar di atas berasal dari# pi / 12 # untuk # pi / 6 # dalam lingkaran jari-jari r dan pusat O, diambil sebagai asal.

# / _ AOX = pi / 12 # dan # / _ BOX = pi / 6 #

Jadi koordinat kutub dari A # = (r, pi / 12) # dan bahwa dari B # = (r, pi / 6) #

Menerapkan rumus jarak untuk koordinat polar

panjang chord AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Begitu luasnya lingkaran

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #