Apa akar kuadrat dari 89?

Menjawab:

Akar kuadrat dari #89# adalah angka yang ketika kuadrat memberi #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Penjelasan:

Sejak #89# adalah prima, #sqrt (89) # tidak bisa disederhanakan.

Anda dapat memperkirakannya menggunakan metode Newton Raphson.

Saya ingin memformulasikannya sedikit sebagai berikut:

Membiarkan #n = 89 # menjadi nomor yang Anda inginkan akar kuadrat dari.

Memilih # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # yang seperti itu # p_0 / q_0 # adalah perkiraan rasional yang masuk akal. Saya memilih nilai-nilai khusus ini sejak itu #89# sekitar setengah jalan #9^2 = 81# dan #10^2 = 100#.

Iterate menggunakan rumus:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Ini akan memberikan perkiraan rasional yang lebih baik.

Begitu:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Jadi jika kita berhenti di sini, kita akan mendapatkan perkiraan:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Mari kita melangkah lebih jauh:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Jadi kami mendapatkan perkiraan:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Metode Newton Raphson ini menyatu dengan cepat.

#warna putih)()#

Sebenarnya, pendekatan sederhana yang agak bagus untuk #sqrt (89) # aku s #500/53#, sejak #500^2 = 250000# dan #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Jika kami menerapkan satu langkah iterasi untuk ini, kami mendapatkan perkiraan yang lebih baik:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#warna putih)()#

Catatan kaki

Semua akar kuadrat dari bilangan bulat positif telah mengulangi ekspansi fraksi lanjutan, yang juga dapat Anda gunakan untuk memberikan perkiraan rasional.

Namun, dalam kasus #sqrt (89) # ekspansi fraksi yang berkelanjutan sedikit berantakan sehingga tidak begitu baik untuk bekerja dengan:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

Aproksimasi #500/53# di atas adalah #9; 2, 3, 3, 2#