Berapa nilai perkiraan sqrt {107}?

Menjawab:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Penjelasan:

Perhatikan bahwa:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# persis #1/3# dari jalan antara #100# dan #121#.

Itu adalah:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Jadi kita bisa menginterpolasi secara linear #10# dan #11# mencari:

#sqrt (107) ~~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10,33 #

(Untuk interpolasi linier dalam contoh ini adalah perkiraan kurva parabola dari grafik # y = x ^ 2 # antara #(10, 100)# dan #(11, 121)# sebagai garis lurus)

Bonus

Untuk akurasi lebih lanjut, kita dapat menggunakan:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))) #

Puting # a = 31/3 # kami ingin:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Kemudian:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …)))) #

Jadi sebagai langkah awal peningkatan:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Jika kami ingin lebih akurat, gunakan lebih banyak istilah:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10.34408043 #