Ini adalah bukti trigonometrik dari kasus umum, pertanyaannya ada di kotak detail?

Menjawab:

Bukti dengan induksi di bawah ini.

Penjelasan:

Mari kita buktikan identitas ini dengan induksi.

A. Untuk # n = 1 # kita harus memeriksanya

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Memang menggunakan identitas #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, kita lihat itu

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

dari yang mengikuti itu

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Maka untuk # n = 1 # identitas kita benar.

B. Asumsikan bahwa identitas itu benar untuk # n #

Jadi, kami berasumsi itu

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j dalam 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(simbol # Pi # digunakan untuk produk)

C. Menggunakan asumsi B di atas, mari kita buktikan identitas untuk # n + 1 #

Kita harus membuktikan bahwa dari asumsi B berikut

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j dalam 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(perhatikan bahwa batas yang tepat untuk indeks perkalian adalah # n # sekarang).

BUKTI

Menggunakan identitas #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # untuk # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Bagi ekspresi awal dan akhir dengan # 2cos (theta) +1 #, mendapatkan

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Sekarang kita gunakan asumsi B get

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j dalam 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j dalam 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(perhatikan kisaran indeks sekarang diperluas ke # n #).

Formula terakhir persis sama untuk # n + 1 # seperti aslinya untuk # n #. Itu melengkapi bukti dengan induksi bahwa formula kami benar untuk semua # n #.

Menjawab:

Lihat Bukti di Penjelasan Bagian di bawah ini.

Penjelasan:

Ini sama dengan membuktikan bahwa, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "the R.H.S." #

Nikmati Matematika.!