Biarkan G menjadi sebuah grup dan H G. Menyetujui bahwa satu-satunya coset kanan H dalam G yang merupakan subring dari G adalah H itu sendiri.?

Menjawab:

Mengasumsikan pertanyaan (sebagaimana diklarifikasi oleh komentar) adalah:

Membiarkan # G # menjadi grup dan #H leq G #. Buktikan bahwa satu-satunya coset yang tepat # H # di # G # itu adalah subkelompok dari # G # aku s # H # diri.

Penjelasan:

Membiarkan # G # menjadi grup dan #H leq G #. Untuk sebuah elemen #g dalam G #, coset yang tepat dari # H # di # G # didefinisikan sebagai:

# => Hg = {hg: h dalam H} #

Mari kita asumsikan itu #Hg leq G #. Lalu elemen identitas #e dalam Hg #. Namun, kita tentu tahu itu #e dalam H #.

Sejak # H # adalah coset yang tepat dan dua coset yang benar harus identik atau terpisah, kita dapat menyimpulkan #H = Hg #

=================================================

Jika ini tidak jelas, mari kita coba bukti menghilangkan simbol.

Membiarkan # G # menjadi grup dan biarkan # H # menjadi subkelompok dari # G #. Untuk sebuah elemen # g # milik # G #, panggil #HG# coset yang tepat dari # H # di # G #.

Mari kita asumsikan coset yang tepat #HG# adalah subkelompok dari # G #. Lalu elemen identitas # e # Milik #HG#. Namun, kita sudah tahu elemen identitas itu # e # Milik # H #.

Dua kosmetika kanan harus identik atau terpisah. Sejak # H # adalah coset yang tepat, #HG# adalah coset yang tepat, dan keduanya mengandung # e #, mereka tidak bisa dipisahkan. Karenanya, # H # dan #HG# harus identik, atau #H = Hg #